Знаходження оберненої функції до квадратичної функції
Приклад. Знайти обернену функцію до квадратичної функції.
Завдання для самостійного опрацювання.
Знайти обернену функцію до квадратичної функції:
Приклад. Знайти обернену функцію до квадратичної функції.
Завдання для самостійного опрацювання.
Знайти обернену функцію до квадратичної функції:
Рівень А
- а) y = x2; б) y = x2 + 4; в) y = x2 - 1; г) y = - x2;
д) y
= - x2 + 3; е) y = - x2 – 5.
- а) y = x2; б) y = (x-1)2; в) y = (4+х)2; г) y = -x2;
д) y
= - (2-х)2; е) y = - (x+5)2.
- а) y = (x-1)2 + 2; б) y = (3+х)2 - 2; в) y = (3-х)2 + 2; г) y = - (3-х)2 - 4; д) y =- (x-2)2 – 3.
- а) y = – x2 + 2x; б) y = – x2 + 4x; в) y = – x2 - 2x; г)
y = x2 + 5x; д)
y = x2 - 8x.
- а) y = 2x2 – 8x; б) y = 2x2 – 6x; в) y = -2x2 – 4x; г) y = -2x2 – 10x; д) y = -x2 + 4x.
- а) y = – 1,5x2; б) y = – 1,5(x +2)2;
в) y = 1,5(x - 3)2 + 2; г) y = 1,5(x +3)2 – 4.
- а) y = x2 – 9x + 10;
б) y = x2 + 9x + 20; в) y = x2 – 8x + 16; г) y = x2 + 7x + 6.
- а) y = –
x2 + 3x - 4;
б) y = – x2 + 4x - 5;
в) y = – x2 + 5x - 6; г) y = – x2 – 1.
- а) y = x2 + 4x +4; б) y = x2 + 10x + 25; в) y = x2 + 8x - 16; г)
y = x2 + 6x – 9.
- а) y = -x2 + 2x + 3; б) y = - x2 + 2x + 5; в) y = x2 - x - 2; г)
y = x2 + 2x - 3;
- а) y = – 2(x - 1)2; б) y = (3 - х)2 - 4 ;
в) y = – (1 – x)2 - 4; г)
y =
– (1 – x)2 - 4;
БАНК ЗАДАЧ З ТЕМИ «КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ»
1. А) Якщо
квадратична функція f(x) =ах2 + bx + с, де а –
ненульове число, b та с -
дійсні числа, приймає два значення f(0)
= с та f(1) =а
+ b + с такі, що
f(0)∙f(1)
= ас + bс + с2 ≤ 0, то
квадратична функція має хоча б один нуль. Доведіть це. Чи вірно, що цей нуль
завжди можна записати правильним звичайним дробом?
Б) Розв’язати рівняння: а) - г) і виконати перевірку. У рівнянні з параметром, що в пункті д) знайти, при якому значенні параметра k рівняння має: а) один корінь; б) один додатний корінь; в) один від’ємний корінь; г) два корені; д) два протилежні корені; е) немає коренів; є) два корені: нульовий і додатний; ж) два корені: нульовий і від’ємний; з) два не додатних корені; и) два корені різних знаків; ї)два взаємно обернені корені.
Б) Розв’язати рівняння: а) - г) і виконати перевірку. У рівнянні з параметром, що в пункті д) знайти, при якому значенні параметра k рівняння має: а) один корінь; б) один додатний корінь; в) один від’ємний корінь; г) два корені; д) два протилежні корені; е) немає коренів; є) два корені: нульовий і додатний; ж) два корені: нульовий і від’ємний; з) два не додатних корені; и) два корені різних знаків; ї)два взаємно обернені корені.
1. а) z2 = (– 13) 6;
б) х3 = 24x;
в) (х-1)(х+9) = 8х;
г) (6х – 9)2 + (9х +
6)2 = 84;
д) -9kх2 – (4-3k)х -0,25k = 0.
2. Знайти
коефіцієнти а, b,с квадратичної
функції f(x) =ах2 + bx + с, якщо
відомо, що графік проходить через такі три точки:
а) (-4;
0), (3;0), (0; -12);
б) ( 1; 1), (2;2), (0; 2);
в)
(2; 3), (3;4), (4; 3).
3. Побудуйте
графіки функцій:
a) f(x)
= max{ 2/x/
- 4; х2 -5x + 4};
б) f(x)
= min{- х2 + 3x + 2; -/x/ + 2};
в) f(x)
= - 2(max{ /x/
- 7; -7- x })2;
4. Побудуйте
графіки функцій:
a) f(x)
= max{ -х2 + 8/x/ -
7; х2 -5/x/ + 4};
б) f(x)
= min{ -х2 + 3/x/ -
2; х2 - 4/x/ +
3};
в) f(x) = - 2(min {/x/;
х2 })2;
5. Розв’яжіть
нерівність:
max{ 2/x/ - 4; х2 -5x + 4} ≤ min{ -х2 + 3/x/ -
2; х2 - 4/x/ +
3}.
6. Якщо
квадратне рівняння ах2 + bx + с = 0, де а – ненульове ціле число, b та с - цілі числа, має два раціональні корені, то принаймні одне з
чисел а, b,с -
парне число. Доведіть це.
7. Чи
може статися так, що квадратне рівняння вигляду:
х2 +
(2n-1)x + 2k-1 = 0,
де n , k – цілі
числа, мати:
а) два парні корені:
б) два непарні корені,
в) два корені
різної парності? Відповідь обґрунтувати.
8. Чи
може статися так, що квадратне рівняння вигляду:
х2 +
2nx + 2k = 0, де n , k – цілі числа,
мати: а) два парні корені: б) два непарні корені, в) два корені різної
парності? Відповідь обґрунтувати.
9. Чи
може статися так, що квадратне рівняння вигляду: х2 +
(2n)x + 2k-1 = 0, де n , k – цілі числа,
мати: а) два парні корені: б) два непарні корені, в) два корені різної
парності? Відповідь обґрунтувати.
10.
Чи може статися так, що квадратне рівняння вигляду:
х2 +
(2n-1)x + 2k = 0,
де n , k – цілі числа,
мати: а) два парні корені: б) два непарні корені, в) два корені різної
парності? Відповідь обґрунтувати.
11.
Доведіть, що коли многочлен ах2 + bx + с, де а – ненульове ціле число, b та с - цілі числа, при х=0 та х=1 має непарні значення, то він не має цілих
коренів.
12. У
кажіть усі значення параметр а для квадратного рівняння
(а-1)х2 - (а+4)x + а+7 = 0,
при яких існує тільки один корінь: а) нульовий; б)
додатний ; в) від’ємний; г) цілий.
13. У
кажіть усі значення параметр а для квадратного рівняння
ах2 -2(а-1) x + 2а+1=0,
при яких знаки коренів: а) різні; б)
додатні; в) від’ємні.
4. Складіть
квадратне рівняння з раціональними коефіцієнтами, якщо один з його
коренів є х = 20,5 -1.
15. Складіть квадратне рівняння з раціональними
коефіцієнтами, якщо один з його коренів є:
а) х
= (50,5 -30,5)/ (50,5 +30,5) ;
б) х = (20,5 -70,5)/ (20,5 +70,5) ;
в) х = (a0,5 -b0,5)/ (a0,5 +b0,5).
16.Складіть квадратні рівняння з
раціональними коефіцієнтами, якщо відомо, що корені: а) 1<х1 <2, 3<х2 <4 ;
б)
-5<х1 <-4 ; -5<х2 <-4 ;
в) -6 < х1 =
х2 <-5.
Інтерполяційна
формула Лагранжа
для
квадратного тричлена
Дано
три точки
(x1; у1),
(x2; у2),
(x3; у3).
невідомого
квадратного тричлена
ах2 + bx + c,
тоді
можна записати квадратний тричлен за допомогою формули Лагранжа:
f(x) = ах2 + bx + c =
= y1(x-x2) (x-x3)/(x1 –x2)(x1 –x3)
+
+ y2(x-x1) (x-x3)/(x2 –
x1)(x2 –x3) +
+ y3(x-x2) (x-x1)/(x3 –x1)(x3 -x2)
Приклад.
Знайти коефіцієнти квадратного тричлена і записати його в стандартному вигляді,
якщо відомі абсциси і ординати тільки для трьох точок: x1 = 1; x2 = 3; x3 = 4; y1 = 2;y2 = -2; y3 = -1.
Розв’язання. Скористаємося
інтерполяційною формулою Лагранжа для квадратного тричлена:
f(x) = ах2 + bx + c = y1(x-x2) (x-x3)/(x1 –x2)(x1 –x3) + y2(x-x1) (x-x3)/(x2 – x1)(x2 –x3) + y3(x-x2) (x-x1)/(x3 –x1)(x3 -x2) = = 2(x-3)(x-4)/(1 –3)(1 – 4) - 2(x-1)(x-4)/(3
– 1)(3 –4) -1(x-3)(x-1)/(4
– 1)(4 -3) = х2 - 6x +
7.
Немає коментарів:
Дописати коментар