понеділок, 21 січня 2019 р.

Комбінований спосіб для функ. рівнянь

Зразки розв'язування функціональних рівнянь комбінованим способом.
У наступних прикладах будуть отримані лише часткові розв'язки функціональних рівнянь:
адже спосіб або поточкового чи словесного задання функції, дає можливість визначати множину різних функцій, що задовольняють конкретне функціональне рівняння.













У наступних прикладах будуть отримані лише часткові розв'язки функціональних рівнянь












Яку функцію можна утворити за допомогою цих малюнків?
а) дискретну, б)неперервну в)зростаючу, д)постійну
г)спадну е)строго монотонну; є) обмежену.
Світлина від Mykola Havryliak.


Світлина від Mykola Havryliak.


суботу, 19 січня 2019 р.

Завдання на дослідження властивостей функцій.

Довідник. Формули скороченого множення
Властивості степенів з цілим показником
аnam=an+mаn:am=an-m;  (аn)m=anm;  а0=1;  а-n=1:an; а=а0,5a0,5=1a1 =(a0,5)2;
(ab)m = ambm = 1/a– mb– m =(ab)m;     am:bm = (a:b)m = b– m a– m =(b:a) – m       
 Різниця та сума квадратів    1=0,25(m2+1)2 – 0,25(m2-1)2 m=(m+0,25)2-(m-0,25)2 ;   m2=0,25(m2+1)2-0,25(m2-1)2;   mn=0,25(mn+1)2-0,25(mn-1)2   

a2 + b2не розкладається  на цілі множники на множині многочленів
a2b2 = (a b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.
Різниця та сума кубів
а3b3 = (a b)(a2 + аb + b2)це різниця кубів двох виразів.
а3 + b3 = (a + b)(a2 – аb + b2) – це cума кубів двох виразів.
Різниця та сума біквадратів
а4b4 = (a b)(a3 + а2b + аb2 + b3) = (a b)(a + b)( a2 + b2);
а4 + b4  - не розкладається на множники
а5 b5= (a b)(a4+ а3b + а2b2 + аb3 + b4);
а5 + b5= (a+b)( a4 а3b + а2b2 аb3 + b4);
a2m + b2m  - не розкладається на множники
аn bn = (ab)( an-1+ аn-2b + аn-3b2 +… + а2bn-3 + аbn-2 + bn-1);
Якщо  b =1, тоді  аn – 1= (a–1)( an-1n-2  + аn-3  +… +а2 + а + 1);
Степінь суми двох виразів.
(a±b)0 = 1;        (a±b)1 = a±b;  1:an ±(1:bn) =a-n±b-n=(ab)-n(an ± bn) =a-n ± b-n 
Квадрат  двочлена:
(a + b)2 =(b + a)2 = a2 + 2ab + b2 –  це квадрат суми двох чисел.
(ab)2 =(ba)2 = a2 – 2ab + b2 –  це квадрат різниці двох чисел.
Куб  двочлена:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3  це куб суми двох чисел;
(ab)3 = a3 – 3a2b + 3ab2b3  це куб суми або різниці двох чисел;
Іноді стають у нагоді такі формули:
(a±b)4 = a4±4a3b +6a2b2 ±4ab2 + b4;
(a±b)5 = a5±5a4b +10a3b2 ±10a2b3 +5ab4 ± b5;
(a±b)6= a6±6a5b +15a4b2 ±20a3b3 +15a2b4 ±6ab5 +b6.
Для непарних n: аn + bn = (a+b)( an-1n-2 b + аn-3b2 -… +а2bn-3 - аbn-2 + bn-1);
Якщо  b =1, тоді a2n+1 + 1= (a+1)( an-1- аn-2  - аn-3  +…2 - а + 1);
Сума трьох квадратів і трьох кубів.
а3 + b3 + c3 - 3abc = (a+b+c)(a2 + b2 +c2 –аb–bc–ac);
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2аb + 2bc +2ac;
(a – b)3 + (b c)3 + (c – a)3 =3 (a – b)(b – c)(c – a).
a4 + 4 =  (a2 2a + 2)(a2 + 2a + 2);
a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 a + 1);
а5 + a +1 = (a2 + a + 1)(a3 a2 + 1);
a10 + a5 + 1 = = (a2 + a + 1)(a8 a7 + a5 a4 + a3 a + 1);
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b +  c)(a2+ b2 + c2 – ab – ac – bc).
a4 + 4b4 = (a2 2ab + 2b2)(a2 + 2ab + 2b2);
4a4 + b4 =  (2a2 2ab + b2)(2a2 + 2ab + b2);
(х – m)(х – m - 2) + 1 = (х – m - 1)2;
1+ (n-1)n(n+1)(n+2)=(n2+n-1)2;
 (х-а)(х-(а+1))(х-(а+2))(х-(а+3))+1 = ((х2-(а +4)х+ (а+4))2;
 16+(n-2)n(n+2)(n+4)=(n2 + 2n- 4)2 ;  
81+(n-3)n(n+3)(n+6)=(n2 + 3n- 9)2; 
256+(n-4)n(n+4)(n+8)=(n2 + 4n- 16)2;
k4+(n-k)n(n+k)(n+2k)=(n2 + kn- k2)2;
k4+(n+k)(n+2k)(n+3k)(n+4k)=(n2 + 5kn+5k2)2
 якщо m+k=p+q, тоді
 |mkpq-(0,5km+0,5pq)2|+(x+k)(x+m)(x+p)(x+q))=
=(x2 - (k+m)x+0,5km+0,5pq)2

 Три способи запису квадратного тричлена
ax2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2)= а(х - 0,5b:a)20,25D:a.
Запис квадратного тричлена у вигляді декількох квадратів:
ax2 + bx + c=m(x-k)2+p(x-q)2
ax2 + bx + c=m(x-k)2+p(x-q)2 +u(x-v)2 

Дискримінант  D = b2 – 4ac
Два корені:   х1 = (‒ b ‒ (b2 ‒ 4ac)0,5 )/(2a),  х2 = (‒ b + (b2 ‒ 4ac)0,5 )/(2a).  
Розв’язування квадратного рівняння без обчислень дискримінанта:
Якщо a + b + с = 0, то корені  кв. рівняння:  х1 = 1,  х2 = с/а.  
Якщо а - b + с = 0, то корені кв. рівняння:   х1 = - 1,  х2 =  - с/а.  

Координати вершини  квадратичної  параболи  y= ax2 + bx + c
це точка (хверш; уверш), де хверш= - 0,5b:a =0,5(х2 + х1);    
 увершaхверш 2+ bхверш+c= -D/4a.
x2 + 2ax + b =  n1(x + m1)2 + n2(x + m2)2 + n3(x + m3)2

xy + x + + а = (х + 1)(y + 1) + а - 1.                xy + x + + 1= (х + 1)(y + 1)
aху + bх + cу + d = (x + c:a)(ау + b) + d – (cb:a).
Якщо b2 ‒ 4acневід’ємний,  то ax2 + byх + cy2 = а(х ‒ k1y) (х ‒ k2y),
де k1, k2 ‒ корені квадратного рівняння  ak2 + bk + c = 0.
А) многочлен (х - а1) (х - а2)(х - а2) … (х -  аn) - 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня, якщо аі  – різні числа
Б) многочлен (х - а1)(х - а2)(х - а2) … (х -  аn) + 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня, окрім наступних випадків:
1+ (n-1)n(n+1)(n+2)=(n2+n-1)2;
 (х-а)(х-(а+1))(х-(а+2))(х-(а+3))+1 = ((х2-(а +4)х+ (а+4))2;
    Випадки розкладу на множники
16+(n-2)n(n+2)(n+4)=(n2 + 2n- 4)2 ;  
81+(n-3)n(n+3)(n+6)=(n2 + 3n- 9)2
256+(n-4)n(n+4)(n+8)=(n2 + 4n- 16)2;
k4+(n-k)n(n+k)(n+2k)=(n2 + kn- k2)2
В) многочлен (х - а1)2(х - а2)2(х - а2)2 … (х -  аn)2 + 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;
Г) якщо р – просте число, то многочлен хр – х – 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;
Д) якщо р – просте число, а – натуральне число, що не ділиться на р, то многочлен хр – х – а – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;
Є) будь-який многочлен з цілими коефіцієнтами можна записати як суму двох незвідних многочленів.
Тотожності.
1=0,25(m2+1)2-0,25(m2-1)2  
 m=(m+0,25)2-(m-0,25)2
1 = ?придумайте власну формулу?       
  m =  ?придумайте власну формулу?        
m2=0,25(m2-1)2+0,25(m2+1)2   
m2=0,25(m2+1)2-0,25(m2-1)2

m2 =?придумайте власну формулу?   
mn = ?придумайте власну формулу?    
mn=0,25(mn+1)2-0,25(mn-1)2     

Формули для знаходження сум степенів натуральних чисел.
  1. Довести, що при довільному натуральному  к  виконується :
a.              2+4+6+..+ 2k = k(k+1)   (сума перших парних натуральних чисел);
b.              1+3+5+..+ 2k -1 = k2   (сума перших непарних натуральних чисел);
c.              1+2+3+4+..+ k= 0,5k(k+1)  (сума перших парних натуральних чисел);
d.             12+22+32+42+..+ k2 = k(k+1)(2k+1):6    (сума квадратів перших натуральних чисел);
e.              1∙2 + 3∙2 + 3∙4 + 4∙5 + 5∙6 + … + k(k+1) = k(k+1)(2+k):3 ;

f.               13+23+33+43+..+ к3 = k2(k+1)2:4     (сума кубів перших натуральних чисел).
Завдання для опрацювання.

1. Чи вірно, що  рівняння
А) (n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 455 = 0;
Б) (k - 2)(k + 1)k(k - 1) - 24  = 0;
В) (m - 7)(m + 1)(m + 7)(m - 1) + 432 = 0;
Г) (a - 3)(a + 1)(a + 3)(a - 1) - 105 = 0
мають єдиний розв’язок в натуральних числах?
2. Які цілі вирази  
А) (n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 576;
Б) (m- 2)(m + 1)m(m - 1) + 1;
В) (k - 3)(k + 1)(k + 3)(k - 1) + 16;
Г) (p - 4)(p + 2)(p + 4)(p - 2) + 36;
Д) (t - 5)(t + 3)(t + 5)(t - 3) + 64;
Е) (x - 1)(x + 3)(x + 2)(x - 2)(x + 1)(x - 3) + 36;
Є) (y - 5)(y + 1)(y + 5)(y - 1) + 144
являються точними квадратами цілих виразів з цілими коефіцієнтами?
3. Невід’ємні цілі числа x, y, z задовольняють рівність
30х + 32у + 33z = 447. Знайдіть  значення виразу х + у + z.


Каталог задач з алгебри.

0. При яких значеннях a та b можна стверджувати, що виконується ланцюжок нерівність:  
min{ a; b} < 2ab(a + b)-1 < (ab)0,5< 0,5(a + b) < 0,5(a2+ b2) 0,5 < max{ a; b}
1. При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  max{ b; - b} < min{ a; - a}? Відповідь обґрунтувати.
2.При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:
·       max{ b; - b} - min{ a; - a} < /a/ + /b/;
·       max{ a; b} - min{ 1:a;  1:b } > 2;
·       max{ ab; ba} - min{ 1:ab1:ba } > 2;
·       max{ ab; a:b} + min{ ab;  a:b } > 2;
·       max{ a; b} + max{ 1:a;  1:b } > 2;
·       min{ ab; ba} + min{ 1:ab1:ba } > 2;
·       max{ ab; a:b} + min{ ab;  a:b } > 2;
·      max{ b; - b} + min{ a; - a} < /a/ + /b/;
·       max{ b; - b} + min{ a; - a} < -a – b;
·      max{ a; - a} + min{ b; - b} < /a/ - /b/;
·       max{ b;a- b} + min{ a; b - a} < -a + b;
·       max{ b; - b} + max { a; - a} < -a – b;
·      max{ b; - b} + max { a; - a} < /a/ + /b/;
·       max { b; - b} + max { a; - a} < b – a;
·       min { b; - b} + min{ a; - a} < -a – b;
·      min { b; - b} + min{ a; - a} < -/a/  - /b/;
·       min { a- b; a:b } < 0,5[a- b+ a:b -/a-b - a:b/];
·       max{ a- b; a:b } < 0,5[a- b+ a:b +/a-b - a:b/];
·       min { ab; a- b; a:b; a+b } < -a + b;
·       max { ab; a- b; a:b; a+b } < -a + b;
·       min { ab; a- b; a/b; a+b; b/a;  a- b; ab; ba } < ab+ ba;
·       max { ab; a- b; a/b; a+b; b/a;  a- b; ab; ba } < ab+ ba;
3.При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  
max{ b; - b}*min{ a; - a} < ab;
max{ b; - b}*mах{ a; - a} < ab;
min{ b; - b}*min{ a; - a} < ab?
4.При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  
max{ b; - b; a; - a } - min{ a; - a; b; - b} < b a;
max{ a+b;  b - a; a - b } – min{ a+b;  b - a; a - b} < b a;
max{ b; - b; a; - a } - min{ a; - a; b; - b} < b - a?

6. При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  max{ b; - b}:min{ a; - a} < b:a?
7. При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  (ab)0,5 +1 < (a + 1)0,5(b + 1)0,5 Відповідь обґрунтувати.
8. Доведіть, що якщо сума двох взаємно обернених чисел не менше двох, тобто для добутку чисел ab=1, тоді
а/b+ b/a > = 2
9. Доведіть, що якщо для невід’ємних b: 1/b+ b > = 2
10.Доведіть, що якщо для невід’ємних чисел ab=1, тоді
                                         (a+b)2.
11. Доведіть, що якщо для невід’ємних  m чисел abcde∙…∙f=1, тоді
(a + b + c + d + e +…+f)>= m.
12. Доведіть, що для довільного а вірно:
а2>= 0.
13.Доведіть, що для  додатного числа  а>0  та від’ємного дискримінанта: b2-4aс<0 завжди виконується квадратна нерівність:
ax2+bx+c>0.
14. Доведіть, що для від’ємного числа  а<0  та від’ємного дискримінанта: b2-4aс<0 завжди виконується квадратна нерівність:

                                              ax2+bx+c<0.

15.При яких значеннях х та а можна стверджувати, що виконується нерівність:  5x(2а  - 5x- а2 1? Відповідь обґрунтувати.
16.При яких значеннях х та y можна стверджувати, що виконується нерівність:  х2 2(х y) + у2 ≤ 2? Відповідь обґрунтувати.
17.При яких значеннях х та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  /х - a/ + /х + a/ ≤ 2? Відповідь обґрунтувати.
18. При яких значеннях х та а не можна стверджувати, що виконується нерівність: x2 + 2ax + a2 > 0? Відповідь обґрунтувати.
19. При яких значеннях х та а можна стверджувати, що виконується нерівність: x4 + 2x2 + a4 +2a2 > -2? Відповідь обґрунтувати.
20. При яких значеннях х та а можна стверджувати, що виконується нерівність: x4 + 2x2 + a4 +2a2 > -2? Відповідь обґрунтувати.
21. При яких значеннях х та а не можна стверджувати, що виконується нерівність: x + 1/x + 1/a + a < -4? Відповідь обґрунтувати.
22. При яких значеннях х не можна стверджувати, що виконується нерівність: x2 + 1/x2 >7? Відповідь обґрунтувати.
23. При яких значеннях х можна стверджувати, що виконується нерівність: 4x23-1) - 3(1 – 2х2) > 4 (х5-1)? Відповідь обґрунтувати.
24. При яких значеннях a можна стверджувати, що виконується нерівність: a-a/-a2 -1/ < 1 – a2(a - 1)? Відповідь обґрунтувати.
25. Побудувати множину точок в прямокутній системі координат: у2 < ух2.
26. Побудувати множину точок в прямокутній системі координат: x3 < y5.
27. Побудувати множину точок в прямокутній системі координат: у2 < /2yx/ - х2.
28. Побудувати множину точок в прямокутній системі координат: /x3/ < y5.
29. Довести, що а3 + а2с – abc + b2c + b3 = 0, якщо a + b + c = 0.
30. Довести, що ах + 2х + ау +2у +4 = а2, якщо a - 2 = х + у.
31.  Доведіть нерівності способом зведення до класичної нерівності Коші:
а) (a + b)(b + c)(c + a) >= 8abc;   
б) (k + 4m)(m + 4n)(n + 4k) >= kmn;      
в) (2x + 2y)(2y + 2z)(2z + 2x) >=xyz;
32. Розв’язати  графічно нерівність /2x-3y/+ /3x-2y/≤5. Знайти площу отриманої геометричної фігури.

 Перевірочна робота
Рівень А
1. При яких цілих значеннях х значення виразу (5х + 10 – 2х2 )(2х-1)-1 є натуральним числом?
2. Доведіть, що при всіх натуральних m число (m-1)m(m+1)(m+2)+1 - cкладене число.
3. Розкласти на множники (m-1)m(m+1)(m+2) – 24.
4. Розв’язати рівняння: (m-2)(m-1)m(m+1) – 3 = 0.
5. Розв’язати рівняння в цілих числах:  mn = n + m.
6. Розв’язати рівняння в цілих числах:  mn + n + m +1 = 0.
7. Розв’язати рівняння:  2m2 + n2 = 2nm+4m.
8. Розв’язати рівняння в цілих числах: 
a)/n/+ /m/ - 2 = 0; 
b)/n-2/+ /m-2/ - 2 = 0;
c)/n-2/+ /n+2/ - 2 = 0.
9. Розв’язати рівняння в цілих числах:  xy + x - 5y +6 = 0.
10. Розв’язати рівняння:  (m-1)0,5+ 2(n-1)0,5 = 0,5(n+m).
11. Доведіть, що amn + bn + cm +d = (m + c:a)(an +b)+d – cb:a.
12. Доведіть, що am2 + bnm + cm2 = a(m - k1n)(m - k2n), де  k1 , k2 корені квадратного рівняння ak2 + bk+ c=0.
13. Доведіть, що 19m3 - 17m2 = 51 не має розв’язків в натуральних числах.
14. Розв’язати параметричне рівняння з невідомим х:
(x2 + ax + a2)(x – ax + a2)-1= a2x-2.
15. Розв’язати рівняння:  2у = 1+ х + x2 + х3.
16. Розв’язати рівняння:  x2 + x -2 + 0,5x – 0,5x -1 = 5.
17. Розв’язати рівняння:  [х +3 - 4(х-1) 0,5]0,5+ [х + 8 - 6(х-1) 0,5]0,5= 1.
18. Доведіть, що mn + n + m + d = (m + 1)(n +1)+ d – 1.
19. Розв’язати нерівність в натуральних числах:
 1/11 < m/n < 1/10.
20. Доведіть, що  22013 -1 складене число.
21. Відомо, що a + b + c < 0 і що ax2 + bx + c = 0 не має дійсних коренів. Визначити знак числа с.
22. Доведіть, що п’ятий степінь кожного натурального числа закінчується такою самою цифрою, як і перший степінь.
23. Знайти невідомі цифри *, якщо  (**)(**)=1*1.
24. Знайти невідомі цифри *, якщо  (**)(92)=***.
25. Знайти невідомі цифри *, якщо  (**)+(**)=*97.
26. Знайти невідомі цифри *, якщо  (**)(45)=*3*.
27. Знайти невідомі цифри , якщо:  КУТ = БАк.
28. Знайти невідомі цифри , якщо:  ЦИФРА = ДВа.
29. Знайти невідомі цифри , якщо:  ВОДА+ВОДА+ВОДА = ОКЕАН.
30. Розв’язати рівняння в цілих числах:  2-3xy -7x +2y +15 = 0.
31. Розв’язати рівняння:  [х2 +3 - 4х]0,5+ 2[9 - 3х]0,5=3[ 2х-2]0,5+ [24]0,5.
32. Розв’язати рівняння:  2x4+ 5x3- 4x2 – 10x -3= 0.
33. При яких значеннях параметра а рівняння
x4-(2а-1)x2 – а2 -1= 0 має два різних корені?
34. Розв’язати в цілих числах рівняння: X! +У! = 144,05, де степеневий факторіал означає таку суму взаємно обренених чисел N! =  N!+ 1/N!.
35. При яких значеннях х та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  max{х; - x} = min{a; - a}? Відповідь обґрунтувати.
36. Розв'язати рівняння (1 + 4х2) (1 + 9у2) = 24ху.





ЗАДАЧІ НА ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЙ та ГРАФІКІВ РІВНЯНЬ
1.       Нехай  функція: f(х): D(f)  ® Е(f) задана аналітично, тобто формулою. За поданими нижче аналітичними формулами функцій:


1.       лінійних функцій у = ах+b;
2.       прямо пропорційних функцій  у = ах
3.       лінійних функції з модулем у = k|а|х|+b| + l
4.       квадратичних  функцій  у = ах2+bx+c;
5.       квадратичних функції з модулем у = k|ах2+b|х|+c| + l
6.       степеневих у = ахn
7.       функцій  ант’є у = а[х]+b
8.       функцій мантиси  у = а{х}+b
9.       цілих раціональних функцій   у = аохn+…+аn ;
10.    обернено-пропорційних функції у =
11.    лінійно-дробових функцій  у = ;  
12.    дробово-раціональних функцій  у = ;
13.    ірраціональних функцій у = g(x)± ;
14.    кусково-неперервних функцій, що задані на декількох числових проміжках;
15.    кусково-розривних функцій, що задані на декількох числових проміжках;
16.    показникових функцій у =bа(x);
17.    логарифмічних функцій у = logb g(х);
18.    тригонометричних функцій у= sin xy = cos x, y =tg x, y = ctg x
19.    обернених тригонометричних функцій  у= arcsin x, y = arccos x, y = arctg x,    y = arcctg x;
20.    трансцендентних та гіперболічних функцій у= f а/b(x)
21.    складених функцій, що утворені суперпозицією декількох елементарних функцій y = f(g(r(x)));
22.    параметричних функцій y(t)= f(t); x(t)= g(t)) ;
23.    неявнозаданих функціональних відношень  f(y)+g(x) = 0;
24.    функцій, що задані у полярних координатах r=f(j).
                Визначити такі властивості:
1) область визначення функції D(f)  і показати її на числовій прямій Ох (це усі значення аргумента функції, тобто х, при яких існує значення f(х));
2) область значень функції Е(f)  і показати її на числовій прямій  Оу(це усі значення  функції, тобто у, що існує, як числове значення f(х));
3) нулі функції (це точки перетину з координатною віссю Ох,тобто, треба знайти усі розв’язки рівняння f(х)=0 або показати, що їх не існує);
4) точку перетину з координатними віссю Оу ( це точки перетину з координатною віссю Оу,тобто, треба точку виду (0;  f(0));або показати, що її не існує);
5) проміжки знакосталості функції(проміжки, де функція додатна і де від’ємна, тобто знайти усі розв’язки нерівності f(х)£ 0 , f(х)³ 0);      
6) парність та непарність функції(перевірка на симетричність області визначення і перевірка на виконання умов:  парності: f(-х)= f(х) та симетричність графіка відносно осі Оу, непраності:   f(-х)= -f(х) симетричність графіка відносно точки (0;0) );
7) періодичність функції ( знайти таке найменше  число Т, що задовольняє умову: f(х + Т)= f( х - Т) = f(х));
8) обмеженість зверху та знизу або  необмеженість зверху та знизу функції ( для обмеженості здійснюється пошук таких чисел m та М, що виконуються одна із нерівностей: m £ f(х)£ М, m < f(х)£ М, m £ f(х)<М  m <f(х)<М, для доведення необмеженості показати, що таких чисел m та М не існує);
9) проміжки неперервності функції( наявність  суцільних ліній, що складають графік);
10) характер точок розриву графіка функції(наявність зсувів, миттєвих стрибків, щілей між лініями графіка, що прямують на безмежність) ;
11) вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти до графіка функції;(це прямі, до яких як завгодно близько наближається крива графіка при прямуванні її на безмежність);
12) критичні точки функції(значення аргументу, в яких похідна f¢(х) дорівнює нулю, або не існує);
13) проміжки монотонності функції(проміжки зростання(точки, де f¢(х)>0)  і проміжки спадання(точки, де  f¢(х)<0 ) );
14) екстремуми функції(усі точки максимуму і точки мінімуму(хmах  та хmin), усі локальні та глобальні максимуми та мінімуми функції(уmах та уmin));
15)можливість побудови графіка за допомогою руху та деформації відомих графіків-шаблонів елементарних функцій;

16) точки перегину та випуклість вгору і випуклусть вниз (кривизна) графіка функції.



КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН та його властивості

   ax2 + bx + c = а(х - х1)(х - х2) = а(х - m)2+ n
А!. Записати три різних квадратних тричленів у стандартному, якщо його  корені дорівнюють:
1) 20 і -1,3;  2) – 80 і 1,6;   3) 70 і -1,6;  4) -50  і -1,2;   5) – 90 і -1,5;  6) -12 і -4,0;  7) – 20 і 1,6;  8) 40 і -2,5;   9) – 70 і 1,9;
10) 1,3 і -70;   11) -30 і -1,9;   12) – 1,4 і -80;  13) 90 і -1,2; 14) – 1,3 і - 60;   15) 50 і -2,3;  16) – 1,7 і 60;  17) 90 і -2,6;
18) -1,4 і -20;   19) – 40 і -1,7;  20) -1,3 і -40;  21) – 50 і 2,6;  22) 30 і -2,5;  23) – 10 і 3,3;  24) 30 і -2,4;  25) -2,2 і -90; 
 26) – 40 і -1,2;  27) -15 і -20; 28) – 30 і – 1,6;  29) 20 і -3,6;  30) – 1,2 і 60;  31) 40 і -4,6;  32) -4,4 і -70;   33) – 90 і -60;  34) -10 і -4,3;  35) – 20 і 6,1;   36) 40 і -5;  37) – 10 і 3;  38) -90 і 5,5;  39) -5 і -90;   40) 14 і -2;   41) -12 і -3. 42) -5 і -20.
Б!. Розкласти на множники квадратний тричлен: а(х-х1)(х-х2) та виділити квадрат двочлена: а(х-m)2+n
1) -х2 -5х-4;  2)- х2 -х-2;  3)- х2 -6х-5;  4) -х2 -7х-6;  5) -х2 -6х-7;  6) -х2 -9х-8;  7) -х2 -10х-9;  8) -х2 -11х-10;  9) -х2 -12х-11;    10) -х2 -13х-12;  11) -х2 -15х-14; 12) -х2 -16х-15;   13) - х2 -17х-16;  14) -х2 -18х-17;  15) -х2 -19х-18;  16) -х2 -20х-19;
17) -х2 -21х-20;  18) -х2 -22х-21;  19) -х2 -23х-22;  20) -х2 -24х-23;  21) -х2 -25х-24;  22) -х2 -26х-25;  23) -х2 -27х-26;
24) -х2 -28х-27;  25) -х2 -29х-28;  26)- х2 -30х-29;   27) -х2 -31х-30;  28)- х2 -32х-31;  29) -х2 -33х-32;  30) -х2 -34х-33; 
31) -х2 -35х -34;  32) -х2 -36х-35;  33) -х2 -37х-36;  34) -х2 -38х-37;  35)- х2 -39х-38;  36) -х2 -41х-40;   37) -х2 -42х-41;  38)- х2 - 8х -12;  39)- х2 -7х+12;  40)2 -10х+21;  41)- х2 +6х-8.  42)2 -15х-56;  43) х2 +14х+48. 44) х2 -17х + 72.
В!. Розв’язати рівняння:  а) - г) і виконати перевірку.  У рівнянні з параметром, що в пункті д) знайти, при якому значенні параметра  k  рівняння має: а) один корінь; б) один додатний корінь; в) один від’ємний корінь; г) два корені; д) два протилежні корені; е) немає коренів;  є) два корені: нульовий  і додатний; ж) два корені: нульовий  і від’ємний; з) два не додатних  корені; и) два  корені різних знаків;  ї)два взаємно обернені корені.
1.    а) z2 = (– 13) 6; б) х3 = 124x; в) (х-1)(х+9) = 8х;  г) (6х 9)2 + (9х + 6)2 = 84; д)  -9kх2 – (4-3k-0,25k = 0.  
2.    а) b2 =( – 31) 2 ; б) х3 = 160x; в)  (х-4)(х+8) = 4х;  г) (7х 4)2 + (4х + 7)2 = 34; д) -4kх2 – (5-2k-0,25k = 0.  
3.     а) z2 = (– 14) 3; б) х3 = 192x; в) (х-4)(х+7) = 3х;  г) (8х 2)2 + (2х + 8)2 = 42; д) -9kх2 – (6-3k-0,25k = 0.    
4.    а) b2 = - ( – 3) 3; б) х3 = 172x; в) (х-4)(х+6) = 2х;  г) (9х 5)2 + (5х + 9)2 = 52; д) - kх2 – (7-k-0,25k = 0.    
5.    а) z2 = (– 2) 5; б) х3 = 136x; в)  (х-4)(х+5) = х;  г) (2х 1)2 + (2х +1)2 = 62; д) -4kх2 – (8-2k-0,25k = 0.  
6.    а) х2 = 36;  б) х3 = 128x; в)  (х-9)(х+3) =-6 х;  г) (4х –3)2 + (3х + 4)2 = 72; д) -9kх2 – (9-3k-0,25k = 0.  
7.    а) m2 –7m = 0;  б) х3 = 188x; в) (х-8)(х+3) = -5х;  г) (5х 3)2 + (3х + 5)2 = 82; д) kх2 – (4-k+0,25k = 0.   
8.    а) n2 +3n= 0;  б) х3 = 148x; в) (х-7)(х+3) = -4х;  г) (7х 4)2 + (4х + 7)2 = 92; д) kх2 – (1-k+0,25k = 0.   
9.    а) k2 –25k = 0; б) х3 = 90x; в) (х-6)(х+3) = -3х; г) (8х –6)2+ (6х +8)2 = 22; д)  kх2 – (k-1)х +0,25k = 0.   
10.а) 36zz2 = 0;  б) х3 = 63x; в) (х-5)(х+3) = -2х;  г)  (9х 7)2 + (9х+7)2 = 72; д) 4kх2 – (2k-2)х+0,25k=0.
11.     а)  b2 – 5b = 0; б) х3 = 45x; в) (х-3)(х+5) = 2х;  г) (3х 7)2 + (3х + 7)2 = 52; д) kх2 – (k-3)х+0,25k=0.           
12.     а)  b2 =( – 4) 2 ; б) х3 = 12x; в) (х-64)(х+65) = х;  г) (7х –9)2 + (9х+7)2 = 72; д) 9kх2 – (3k-4)х+0,25k=0.              
13.     а)  z2 = (24) 3; б) х3 = 28x; в) (х-54)(х+55) = х;  г) (8х 7)2 + (7х + 8)2 = 82; д) kх2 – (k-5)х+0,25k=0.           
14.     а)  b2 = - ( – 4) 3; б) х3 = 8x; в) (х-44)(х+45) = х;  г) (4х 5)2 + (5х + 4)2 = 92; д) kх2 – (k-6)х+0,25k=0.            
15.     а)  z2 = (– 3)6; б) х3 = 78x; в) (х-34)(х+35) = х;  г) (5х 8)2 + (8х + 5)2 = 62; д) kх2 – (k-7)х+0,25k=0.            
16.     а)  х2 = 64x;  б) х3 = 76x; в) (х-24)(х+25) = х;  г) (7х 1)2 + (7х + 1)2 = 12; д) kх2 – (k-8)х+0,25k=0.            
17.     а)  у2 = 0,81y;  б)х3 = 75x; в) (х-15)(х+16) = х;  г) (8х 1)2 + (8х + 1)2 = 42; д) -9kх2 –(3k-1)х -0,25k = 0.           
18.     а)  z2 = (- 4)3; б) х3 = 0,01x; в) (х-14)(х+15) = х;  г) (9х 1)2 + (9х + 1)2 = 62; д) kх2kх +0,25k+1 = 0.              
19.     а)  m2 = 54; б) х3 = 0,16x; в) (х-13)(х+14) = х;  г) (6х 3)2 + (3х + 6)2 = 92; д)  kх2kх +0,25k+2 = 0.              
20.     а) m2 = 23;   б) х3 = 49x; в) (х-12)(х+13) = х;  г) (8х 9)2 + (9х + 8)2 = 72; д) kх2kх +0,25k+3= 0.              
21.     а)  n2 = 1/36; б) х3 = 256x; в) (х-11)(х+12) = х;  г) (4х 5)2 + (4х + 5)2 = 52; д) kх2kх +0,25k+4 = 0.              
22.     а)  d2 =(- 1/4)2; б) х3 = 196x; в) (х-10)(х+11) = х;  г) (2х 5)2 +(2х +5)2 = 32; д) kх2kх +0,25k+26 = 0.              
23.     а) х2 = 2,89;  б) х3 = 169x; в) (х-1)(х+2) = х;  г) (2х 5)2 + (2х + 5)2 = 12; д) kх2kх +0,25k+27 = 0.              
24.     а)  n2 = 6,25n; б) х3 = 88x; в) (х-7)(х+8) = х;  г) (2х 5)2 + (2х + 5)2 = 82; д) kх2kх +0,25k+28 = 0.              
25.     а)  m2 =1/36; б) х3 = -68x; в) (х-6)(х+7) = х;  г) (х 5)2 + (х + 5)2 = 62; д) kх2kх +0,25k+29= 0.               
26.     а)  a2 = 17/9; б) х3 = 80x; в) (х-5)(х+6) = х;  г) (5х 4)2 + (4х + 5)2 = 42; д) kх2kх +0,25k+30 = 0.               
27.     а)  b2 = 31/16; б) х3 = 84x; в) (х-4)(х+5) = х;  г) (4х 3)2 + (3х + 4)2 = 22; д)  kх2kх +0,25k+32= 0.                
28.     а)  z2 = (– 2) 6; б) х3 = 36x; в) (х-8)(х+9) = х;  г) (3х 5)2 + (3х + 5)2 = 12; д) kх2kх +0,25k+33= 0.                 
29.а) х2 = 441n; б) х3 = 98x; в) (х-4)(х+10) = 6х; г) (х 2)2 + (х + 2)2 = 4; д) -4kх2 – (1-2k-0,25k +1= 0.  
30.а) n2 = 324;  б) х3 = 78x; в) (х-7)(х+4) = -3х;  г) (х 4)2 + (х + 4)2 = 32; д)  -kх2 – (1-k-0,25k+2 = 0.  
31.а) m2 = 108;  б) х3 = 58x; в) (х-9)(х+4) = -5х;  г) (х 1)2 + (х + 3)2 = 10; д) -kх2 – (2-k-0,25k+3 = 0.  
32.а) х2 = 225;  б) х3 = 87x; в) (х-9)(х+1) = -8х;  г) (х 3)2 + (х + 5)2 = 34; д) -9kх2 – (1-3k-0,25k +4= 0.
33. а) х2 = 9х; б) х3 = 16x; в) (х-4)(х+3) = х;  г) (2х 5)2 + (5х + 2)2 = 60; д) -9kх2 – (1-3k-0,25k = 0.  
34.а) n2 = 4n;  б) х3 = 0,25x; в) (х-7)(х+1) = -6х;  г) (4х 2)2 + (2х + 4)2 = 54; д)  -kх2 – (1-k-0,25k = 0.  
35.а) m2 = 16m;  б) х3 = 40x; в)  (х-8)(х+4) = -4х;  г) (3х 4)2 + (4х + 3)2 = 64; д) -kх2 – (2-k-0,25k = 0.  
36.а) х2 = 25x;  б) х3 = 44x; в)  (х-9)(х+6) = -3х;  г) (4х 5)2 + (5х + 4)2 = 68; д) -4kх2 – (1-2k-0,25k = 0.  
37.а) k2 = 64k;  б) х3 = 99x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (15х 6)2 + (6х + 15)2 = 90; д) -4kх2 – (3-2k-0,25k = 0.  
38. а) k2 = 36k;  б) х3 = 98x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (5х 6)2 + (6х + 5)2 = 60; д) -4kх2 – (3-2k-0,25k = 0.  
39.а) k2 = -16k;  б) х3 = 96x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (5х 16)2 + (16х + 5)2 = 80; д) -4kх2 – (3-2k-0,25k = 0.  

40.  а) k2 = 256;  б) х3 = 20x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (х 6)2 + (х + 6)2 = 72; д) -4kх2 – (7-2k-0,25k+6 = 0.