Взаємно обернені лінійні функції.

Взаємно обернені лінійні функції.

Поняття складеної функції.

   Означення.  Композицією(суперпозицією, складеною функцією) двох функцій

f: А®В

р: В®С

називається функція

g: А®С,

яка визначається тотожністю 

g(х) =  р(f(x)), де х є А

Композиція  р(f(x)) читається справа наліво: композиція функцій  f та р.

Іноді в математичній літературі використовують позначення композиції двох функцій  fp.

Зауваження. Як правило   р(f(x)) f(p(x)).

        Приклад 1. Знайти складену функцію

f(f(f(х)))

якщо f(х)= -3х+2 та обчислити її значення при х= -1.

Розв’язання: Розпочнемо конструювати  композицію для лінійної функції

f(x) = ax + b, де аєR, bєR.

Підставимо  в аргумент  шуканої функції аx+b

f(f(x)) =  f(аx+в) = a(аx+b)+ b =а²х + ba+b

і послідовно продовжимо аналогічну процедуру підстановки.

Отже для даної функції знайдемо послідовність композицій складених функцій:

g(x) = f(f(x)) = -3(-3х+2) + 2 = 9х-6+ 2 = 9х – 4.

h(x) = f(g(x)) = f( f(f(x)))  = -3(9х-4) + 2 = -27х +12 + 2 = -27х + 14.

f( f(f(-1)))  = 41.

Відповідь:  f( f(f(x)))  = -27х + 14;  f( f(f(-1)))  = 41.

          Приклад . Знайти складену функцію

f(f(...f(х))...)  (11-разова композиція f),

якщо f(х)= -х³ та обчислити її значення при х= -1.

Розв’язання: Розпочнемо конструювати  композицію для кубічної функції

h₁(x)   =  f(x) = -х³

Підставимо  в аргумент  шуканої функції -х3

h₂(x)  =  f(f(x)) =  f(-х³) = -(-х³)³ = х⁹

і послідовно продовжимо аналогічну процедуру підстановки.

Отже для даної функції знайдемо послідовність композицій складених функцій:

h₃(x)    =      f( f(f(x)))  = f(х⁹) = -(х⁹)³ = -х²⁷,

..................................................................,

h₁₁(x)    =      f(... f(f(x)...))  = -х¹⁷⁷¹⁴⁷  .

Обчислимо значення функції

h₁₁(-1)    =      f(... f(f(-1)...))  = -(-1)¹⁷⁷¹⁴⁷  = 1.

Відповідь:  1.

Взаємно обернені функції.

 Цікавими для математиків являються композиції двох функцій, які не змінюють значення аргументу, тобто композиції виду

f(p(у)) = у      та         р(f(x)) = х,    (*)

де   x є А, у є В,

f: А®В

р: В®А .

       Такі композиції  будемо вважати функціональними рівняннями, а пару функцій, що задовольняє  рівностям  (*) називатимемо взаємно оберненими  функціями.

Множина  розв’язків  двох рівнянь (*) – це клас функцій, за допомогою яких математики розв’язують звичайні, тригонометричні, логарифмічні та інші рівняння.

        Тому важливо знати умови існування обернених функцій.

Всі функції можна розбити на два класи: 1. Функції, обернені до яких є функціями;  2. Функції, обернені до яких не є функціями.  Перші називаються оберненими,  другі – не обернені.

    Обернені функції – це відповідність, в якій немає пар з однаковими першими та різними другими компонентами (функція!!!) та немає пар з однаковими другими та різними першими компонентами (обернена!!!)

Тому обернена функція кожне своє значення приймає тільки один раз, а її графік у декартовій системі координат не має точок з однаковими абсцисами і різними ординатами, а також точок з різними абсцисами, але однаковими ординатами.

 Приклад. Знайти лінійну функцію р(х), якщо

р(f(х)) = х,

f(х)= -4х + 3.

Розв’язання.    Спочатку з’ясуємо, чи дана функція може мати обернену. Якщо припустити, що дана функція немає оберненої, то повинні існувати такі значення

х₁ х₂, для яких  f(х₁)=f(х₂).

Тоді -4х₁+3=-4х₂+3, звідки х₁  =  х₂.

Дане протиріччя доводить, що дана функція має обернену.

   Розпочнемо конструювати взаємно обернену функцію. Нехай

у = -4х+3.

Замінимо х на  у. А потім виразимо у через х.

х = -4у + 3,

 звідси 

-4у = х - 3,

остаточно       у = -0,25х + 0,75.  

   Таким чином,

f(х)= -4х + 3

та

р(х) = -0,25х + 0,75.

Виконаємо перевірку.

р(f(х))= -0,25(-4х + 3) + 0,75 = х - 0,75 + 0,75 = х.

  Області визначення та області значення обох функцій становлять множину дійсних чисел.

Відповідь: р(х) = -0,25х + 0,75.

   Існують функції, які обернені самі до себе. До них належать такі функції:

у =1/x,

y = x,

y =-x,

y = (x+1)/(x-1)  і т.д.

Постарайтесь впевнитися в цьому самостійно.

Графіки взаємно обернених  функцій завжди симетричні відносно прямої y = x.

 Наводимо приклади двох взаємно обернених функцій:

f = x³ та f ^-1= х^1/3 ,

f = аx + b та f ^-1= (х - b):а.

   Правило знаходження оберненої функції.

 Якщо функція f задана формулою у= f(х), то для знаходження оберненої функції до даної, достатньо розв’язати рівняння  у = f(х) відносно х та зробити заміну х на у.

   Властивість  оберненої функції:

1.Обернена до оберненої функції являється даною функцією 

( f ^-1) ^-1 = f.

Обернена до складеної функції шукається як композиція обернених компонентів справа наліво

                 

(  f(р) ) ^-1 = р ^-1( f ^-1).

 

   Завдання для самостійного    опрацювання

1. Знайти композиції функції  f(f(x)), якщо:

а) f(x) = х;  б) f(x) =-2х;   в) f(x) =-2 - х;  г) f(x) =-2х- 4; д) f(x) =-2х²+ 5;  е) f(x) =-2:х.

2. Знайти лінійну функцію р(х),  якщо р(f(x)) = х та відомо:

а) f(x) =х;  б) f(x) =-2х;   в) f(x) =-2 - х;   г) f(x) =-2х-6;

д) f(x) = (х + 3):(2- х);  е) f(x) =-  (х + 1):(1- х);

3. Знайти композиції функцій  g(x)= р(f(x))  та обчислити g(0), якщо:

а) f(x)= 1/x; р(x)= х² + х;   б) f(x)=–1/(2+x); р(x)= х² - х;

в) f(x)= -2x³-2х²; р(x)= х²-2х;    г) f(x)= -2/(1+x³); р(x)= -х²-2х;

д) f(x)=x³/(1+x2); р(x)= -3x²-7.