Поняття функції

Поняття функції

Спочатку нагадаємо про зміст фундаментального поняття функції та її структуру.

Означення. Функція – це відображення,  яке кожному числу х із деякої множини чисел Х за певним правилом поставить у відповідність деяке число у із деякої множини чисел Y.

В таких випадках кажуть, що у є функція  від х і позначають

y = f (х),

де f ‒ правило(формула), за яким кожному х відповідає у, а f(х) означає саме число у, що відповідає.

Означення.  Множина Х називається областю визначення функції f.

Область визначення може бути не тільки числовою множиною, наприклад, це може бути множина фігур, або множина функцій із деякою властивістю.

Означення. Множина Y усіх елементів y, таких, що

y = f(х)

для кожного х із Х називається  множиною значень функції f.

Множина значень функції f  може бути не тільки числовою множиною, наприклад, це може бути множина товарів, які виготовляє і реалізує підприємство, або множина функцій із деякою властивістю.

Способи задання функцій.

Функцію можна задати аналітично, що означає вказати усі формули, за допомогою яких дістанемо усі значення функції. До речі, аналітичні вирази, що описують послідовність операцій, які треба виконати з елементом х, щоб дістати елемент   у.   Наприклад,   у = -5х² + 3х ‒ 2.

Функцію можна також задати звичайною таблицею, де явно зазначено, який елемент(або число, або точка) у із Y відповідає елементу(або числу, або точці) х із Х. Таке задання Ф. зручне у випадку скінченної мно­жини Х. 

Наприклад, таблиця

х1	х2	х3	…	хn-2	хn-1	хn
y1	y2	y3	…	yn-2	yn-1	yn

задає функцію, що ставить у відповідність числам

х₁, х₂, . . . , х_n

числа

у₁, у₂, . . . , у_n

відповідно.  Область визначення цієї функції є скінченною
множиною

X = {х₁, х₂, . . . , х_n}.

Функцію можна задати також словесно (вербально). Наприклад, кожній робочій мобілці відповідає її власник.

Позначення функції.

Отже, функція є (довільне) відображення множини Х в чис­лову множину Y, що символічно позначають так:

f: X ® Y.

Означення. Елемент

х є Х

називають аргументом функції, а елемент

у є Y

називають зна­ченням   функції.

Іноді множини Х на Y явно не зазначають, але мають на увазі.

Якщо функцію задано аналітично, то областю визначення функції звичайно вва­жають множину всіх тих чисел х, для яких можна обчислити відпо­відне у за порядком обчислень, заданим аналітичним виразом.

У цьому випадку область визначення функції  називають областю допустимих значень функції. (скорочено записують: ОД3).   Наприклад, а)ОД3функції у = 1: (х² – 1)  це множина дійсних чисел, окрім двох чисел: -1 і 1, і позначають цю множину так:

D(y) = (- ∞;-1 )È (-1; 1)È (1; +∞).

А чому це так? Адже значення функції можна   обчислити   за   аналітичним    виразам    1: (х² – 1) тільки для тих значень х, які зазначені вище.

а)ОД3функції z = 1оg₂x це множина дійсних додатних чисел,  і позначають цю множину так:

D(y) = (0; +∞),

адже значення функції можна   обчислити   за   аналітичним    виразам    1оg₂x  тільки для тих значень х, які зазначені вище.

У ширшому розумінні поняття функція використовується як синонім
поняття відображення множини функцій X в множину функцій Y

f : Х ® Y

(Х та Y ‒ множини довільних елементів, не обов'язково це тільки числові). В цьому випад­ку, як і у випадку числових множин X та Y, ці множини називають областю визначення й множиною значень функції f.

Означення.  Залежно від природи елементів множин Х та Y для функції f застосовують такі назви:

а) якщо Х = (- ∞;+∞) та Y = (- ∞;+∞) ‒ множини дійсних чисел, то f  називається дійсна функція дійсного аргументу;

б) якщо Х = (- ∞;+∞) множина дійсних чисел, а Y множина комплексних чисел, тобто

С = {(a + ib| a є (- ∞;+∞), b є (- ∞;+∞),  i ²= ‒1},

то f називається комплексна функція дійсного аргументу;

в) якщо Х  та Y ‒ множина комплексних чисел, Х = Y = С
то f  називається комплексна функція комплексного аргументу;

г) якщо  X   складається з упорядкованих наборів (х₁, х₂, . . . , х_n) дійсних або ком­плексних чисел х₁, х₂, . . . , х_n, а Y ‒ множина дійсних або комплекс­них чисел, то f  називається дійсна або комплексна функція  дійсних або комплексних аргументів;

д) якщо Y складається з векторів деякого простору, то f  називається вектор-функція;

е)якщо X складається з функцій а Y ‒ числова множина, то f  називається функціоналом.

є) якщо X складається з функцій та Y ‒ складається з функцій, то f  називається оператором.

ж)якщо X складається з натуральних чисел та Y ‒ складається з чисел(функцій), то f  називається послідовністю чисел (функцій).

В старі часи поняття функції означали як змінну величину, що нині виявилося незадовільним через нестрогість означення поняття змінної  величини.

Нещодавно в шкільному курсі математики поняття функції означали за допомогою функціонального відношення. А саме: відношенням називається підмножина М у прямому добутку

X×У = {(a;b )| a є X, b є Y },

множин Х та Y.

Означення. Функціональним відношенням називається відношення S, що має властивості:

1.Для  кожного   х є Х  існує  єдиний  елемент   виду   (х, у) є S.

2. Для кожного  yє Y  існує не обов'язково єдиний елемент виду (х, у) є є S, х є Х  .

Отже, можна розуміти поняття функції як підмножини декартового добутку двох множин.

Взагалі не існує формального означення функції. Поняття функція відноситься до базових і фундаментальних  понять  математики, і це поняття можна лише спробувати назвати іншим синонімом, наприклад відображення, відповідність, закон чи підмножина декартового добутку двох множин, а саме це деяка множина пар

P =A×B ={(x, y), якщо x із А, y із В}.

Означення. Функцією (відображенням, трансформацією) f множини X в множину Y (позначається f : X → Y) називається така відповідність між множинами X та Y, яка задовольняє наступним умовам:

1)відповідність f всюди визначена, тобто, для будь-якого x з X існує такий y з Y, що x f y (y є образом x для функції f), тобто, для будь-якого x з X існує хоча б один образ y з Y;

2)відповідність f є відповідністю багато-до-одного, або функціональною, тобто, якщо xfy та xfz, то y = z, тобто, y може бути образом зразу декількох елементів з X, але один елемент x не може породжувати більше одного образа з Y.

Таким чином, за цією властивістю функція для кожного елемента х із Х не може бути двозначною, тризначною і т.д.  Класична функція може бути тільки однозначною.

Композиція функцій.

Означення. З двох функцій

f: X → Y

та

g: Y → Z

можна побудувати композицію функцій таким чином: спершу застосувавши f до аргументу x є X, а потім застосувавши g до результату. Така композиція функцій позначається

g° f: X → Z,

тобто

(g° f)(x) = g(f(x)) для всіх x є X.

Тотожна функція, вкладення, продовження та звуження.

Означення. Відображення (функція)

E: X → X,

таке, що E(x) = x для будь-якого x із X, має назву тотожного відображення, про яке говорять, що воно відображує X в себе.

Означення. Відображення

I: X → Y,

яке відображує елемент x з X в такий же елемент, але в Y, називається вкладенням.

Означення. Відображення

g': X → Y

називається звуженням (обмеженням) відображення

g: X' → Y' ,

якщо X та Y є підмножинами X' та Y' відповідно. Відображення g, в свою чергу, називається продовженням відображення g'.

Обернена функція.

Деякі функції мають відповідні обернені функції.

Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції.

Означення. Якщо композиція функцій

f ° g = E_Y, де E: Y→Y

‒ тотожне відображення,

то f має назву лівого оберненого до g,  а g має назву правого оберненого до f.

Якщо справедливо і

f ° g = E_Y і g° f = E_X,

то g має назву оберненого відображення (функції) до f і позначається як f ⁻¹, тобто g = f ⁻¹.