Рівняння висоти, медіани трикутника

Рівняння висоти, медіани трикутника

Множина прямих задана формулою:

аx + by + c = 0

а) якщо а і b – фіксовані числа(не змінюються), не рівні нулю, а число с – довільні числа(змінюються),  тоді маємо пучок паралельних прямих, який визначає направляючий вектор з координатами (-b, а). Вектор з координатами (а; b) – це перпендикулярний вектор до прямої, що задана рівнянням аx + by + c = 0;

б) якщо а і с – фіксовані числа і а ≠ 0(не змінюються),

b - довільні числа (змінюються), то маємо пучок прямих, які перетинаються в точці (-с/а; 0), за виключенням осі Ox, тобто, прямої у = 0;

в) Якщо b і с фіксовані числа і b ≠ 0(не змінюються),  а – довільні числа(змінюються), то маємо пучок прямих, які перетинаються в точці (0; -с/ b), за виключенням осі Оy, тобто,  прямої х = 0.

г) якщо паралельні прямі задані рівняннями: аx + by + с₁= 0,  аx + by + с₂= 0, то формула відстані  h між паралельними прямими: h = |с₁ – с₂|:(а² + b ²)^0,5.

д) якщо трикутник в декартовій системі xOy

заданий рівняннями прямих

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0,

l₃: A₃x + B₃y + C₃ = 0,

тоді рівняння висоти, що опущена на l₃:

(A₁x + B₁y + C₁)(A₂A₃ + B₂B₃) = (A₂x + B₂y + C₂)(A₁A₂ + B₁B₂)

рівняння медіани, що проходить через точку перетину l₁ та l₂:

(A₁x + B₁y + C₁)(A₂B₃ – A₃B₂) = (A₂x + B₂y + C₂)(A₃B₁ + A₁B₃).

Ці прямі утворюють трикутник тоді і тільки тоді,коли не рівний нулю визначник V третього порядку, що утворений з трьох векторів: (A₁; B₁; C₁), (A₂; B₂; C₂), (A₃; B₃; C₃), тобто вираз V = A₁B₂C₃+ C₁A₂B₃+ B₁C₂A₃- A₃B₂C₁ - A₁B₃C₂- A₂B₁C₃ ≠ 0

 Площа трикутника S, що задана трьома рівняннями прямих:

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0,

l₃: A₃x + B₃y + C₃ = 0,

обчислюється за формулою:

S = 0,5(V)² :(А₁B₂- А₂B₁) (А₂B₃- А₃B₂)(А₃B₁- А₁B₃),

де  V = A₁B₂C₃+ C₁A₂B₃+ B₁C₂A₃- A₃B₂C₁ - A₁B₃C₂- A₂B₁C₃.

Завдання для самостійного дослідження.

1. Розкласти число 200 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 11, а друге — на 13.

2. Розкласти число 800 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 17, а друге — на 23.

3.Розкласти число 170 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 11, а друге — на 13.

4. Для настилання підлоги завширшки 6 м є дошки завширшки 17 см і 15 см. Скільки треба 43. взяти дощок того й другого розмірів, якщо вважати, що довжина кімнати і довжина дощок однакові, і дошки кладуться вздовж кімнати?

5. На трасі 800 м треба прокласти газові труби. На складі є труби довжиною 11 м і 13 м. Як найекономніше використати ці труби?

6. Автобаза може послати 30 машин для вивозу цукрових буряків на три приймальні пункти. На базі є дво-, три- і п'ятитонні машини. Скільки треба машин кожної тонажності, щоб за кожну ходку вивозити 100 тонн буряків? Знайти оптимальний розв'язок.

7. 26 осіб витратили разом 88 монет, причому кожен чоловік витратив 6, жінка — 4, а дівчина — 2 монети. Скільки було чоловіків, жінок і дівчат?

8. Записати формулу чисел, які діляться на 7. Записати формулу чисел, які при діленні на 5 дають остачу 3.

9. Записати числа, які є наступними для чисел n, 3n, n+2, 2n+1, ?

10.Чи діляться n(n+1) на 2? На які числа ділиться добуток n(n+1)(n+2)? Довести, що сума двох непарних послідовних чисел ділиться на 4.

11. Довести, що сума трьох послідовних парних чисел ділиться на 6.

12. Довести, що сума п'яти послідовних чисел ділиться на 5.