Поняття кубічної функції

РОЗКЛАД  НА МНОЖНИКИ МНОГОЧЛЕНІВ

СТУПЕНІ БІЛЬШЕ 2

Для будь-якого многочлена степеня більше 2 доводиться, що існує квадратний тричлен, на який даний многочлен ділиться без остачі.

Для многочлена третього ступеня

Р₃(х) = ах³ + bх² + сх + d  

можливе одне з двох:

a) або він розкладається в добуток трьох лінійних двочленів, тобто 

Р₃(х) = а(х – x₁)(х – x₂)(х – x₃),

де числа  x_1,  x_2,  x₃  - нулі многочлена  третього ступеня не обов'язково різні

б)  або він розкладається в добуток двочлена і квадратного тричлена, тобто

Р₃(х) = а(х - x₁)(х² + px + q).

Приклад.   Розкласти многочлени на множники:

а) х³ + х – 2;      б) х³ – 3х + 2.

Розв’язання.

а) х³ + х – 2 = (х³ – 1) + (х – 1) = (x - 1)(х² + x +1)+(х +1)= (x - 1) (х² + x +2).

Дискримінант квадратного тричлена х² + x +2 менше нуля; тому на множники він не розкладається.

б) х³ – 3x + 2 = х³ – x – 2x + 2  =  х (х² – 1) – 2(х – 1) = (х–1)(х+1)х–2(х–1) =  (х–1)(х² + х – 2) = (х–1)(х² – 1+ х – 1)= (х-1)(х-1)(х + 2) = (x-1)²(х+2).

Многочлен четвертого степеня

Р₄ (х) = ах⁴ + bх³ + сх² + dх + f

розкладається:

а) або  на добуток чотирьох двочленів:

Р₄(х) = а(х – x₁)(х – x₂)(х – x₃)(х – x₄),

де числа x_1,  x_2,  x_{3 ,} x₄  нулі многочлена четвертого ступеня  не обов'язково різні;

б) або на добуток двох двочленів і   квадратного тричлена:

Р₄(х) = а(х – x₁)(х – x₂)(х² + pх +q),

де числа x_1,  x₂  не обов'язково різні;

в) або на добуток двох квадратних тричленів:

Р₄(х) = a(х² + cх + b)(х² + px + q),

де одночасно можлива рівність с = p  і b = q.

Приклад.   Розкласти на множники:

а) х⁴ – 5х² + 6;       б) х⁴ + 5х² + 6;      в) х⁴ + х³ – х – 1;  г) х⁴ + 4.

Розв’язання.

а) х⁴ - 5х² + 6 =  (х² - 3)(х² - 2) =  (х - 3^0,5)(х + 3^0,5)(х– 2^0,5)(х + 2^0,5);

б) х⁴ + 5х² + 6 =  (х² + 3)(х² + 2);

в) х⁴ + х³ – х – 1= х³(х+1) – (х+1) =  (х+1)(х³-1) = (х+1)(x -1)(х² + х+1);

г) х⁴ + 4 = х⁴ + 4х² + 4 – 4х² = (х² + 2)² – (2х)² =  (х² – 2^0,5х + 2)(х² + 2^0,5х + 2).

У загальному випадку  многочлен n-го степеня

Р_n(х) = а₀ хⁿ + a₁ х^n-1 + a₂ х^n-2 + a₃ х^n-3 +… + a_n

Можна записати єдиним чином у вигляді добутку многочленів, степінь кожного з яких не більше 2, тобто кожний з яких або двочлен лінійного вигляду, або квадратний тричлен, що не має коріння.

Можливість виділення у многочлена лінійних множників пов'язана з  наявністю у  цього многочлена  коріння.

Твердження  про коріння многочлена:

Многочлен n-й ступеня має не більш n дійсного коріння (з урахуванням їх кратностей).

Многочлен непарного степеня має хоч би один дійсний корінь.

Поняття лінійної функції

Функція – одне з найважливіших понять сучасної математики. 

Воно виникло в XVII столітті. 

Спочатку Р.Декарт увів поняття змінної величини і систему координат, став розглядати залежність ординат точок графіка від їх абсцис. Слово „функція” для назви таких  залежностей вперше ввів німецький математик  Г.Лейбніц. Швейцарський математик Л.Ейлер функцією називав вираз, складений з змінної і чисел. Наприклад, вираз  3х + 5 – функція від змінної  х, бо значення даного виразу залежить від значень х. Чеський математик Б. Больцано ще більше розширив поняття  функції, він під функцією розумів будь-яку залежність однієї величини від іншої. Це поняття зусиллями багатьох математиків уточнювалось, розширювалось, наповнювалось новим змістом. Найзагальніше сучасне його означення запропонувала в ХХ ст. група математиків, що виступала під псевдонімом Н. Бурбакі:

   „Функція – це відношення, при якому кожному елементу області відправлення  відповідає рівно один елемент області прибуття”. Під областю відправлення (областю визначення функції) і областю прибуття (області її значень) розуміють будь-які множини, а не тільки числові. Ми будемо розглядати числові функції. 

  1. Така залежність між змінними x та у, в якій кожному значенню х з деякої множини  D  відповідає одне і тільки одне значення у, називається функціональною залежністю, або функцією.

 Наприклад: а) Залежність між натуральними числами та  їх квадратами називається функціональною залежністю.

   б) Якщо кожному натуральному числу поставити у відповідність число, йому протилежне, то одержимо функціональну  залежність.

    в)  у = 2х – 3, функціональна  залежність, бо кожному значенню змінної х відповідає єдине значення змінної у.

 2. Змінну х називають аргументом даної функції, або незалежною змінною.

     Змінну у називають функцією від х, або залежною змінною.

3. Способи задання функції:

      а) описанням, наприклад, кожному натуральному числу поставлено у відповідність його квадрат;

х – аргумент, у – функція.

 б) формулою, наприклад:

                    у = 2х – 3,   х – аргумент, у – функція.

                    S = Vt,   t – аргумент, V – функція.

                    S = πR²  R – аргумент, S – функція.

           в) таблицею, наприклад:

х	1	2	3	4	5
у	-1	1	6	5	7

           

              

х – аргумент,  у – функція.

      г) графіком.

  Означення. Лінійна функція - це відповідність між двома множинами дійсних чисел, яка задається формулою

у = f (x) = ах + b.

Властивості функції

 ­­

1. Область визначення функції, множина її значень.

       а) Значення, які може набувати змінна х, називаються  областю визначення функції.

             б)  Значення, які набуває змінна  у  називаються  множиною значень.

Приклади.

    1) Функцію задано формулою  у = х²– 3х.

         Знайти значення функції, коли х дорівнює: –2;0;2.

Розв’язання.

Якщо х = – 2, то   у = (–2)² – 3 (–2) = 10.

Якщо х = 0, то   у = 0² – 3  0 = 0.

Якщо х = 2, то   у = 2²– 3  2 = – 2.

    2) Знайти область визначення функції, заданою формулою:

         а) у = 5х – 1.

Розв’язання.

Змінна х може набувати будь-яких значень. Область визначення  даної функції – множина всіх дійсних  чисел.

Властивості відображень. Структура функції.

Означення.  Нехай X , Y ‒ деякі множини. Відображенням f множини Х у множину Y будемо називати правило, яке кожному елементу х є Х ставить у відповідність точно один елемент у є Y.

 Слово «функція» має латинське походження, finction – виконувати. Цей термін ввів в математичну науку Г. Лейбніц. Позначення функції Г. Лейбніцом було таким:

у = f(х), хєХ.

Зараз для позначення функції використовують інше позначення:

f: Х ®Y.

  Часто другу множину Y називають цільовою множиною чи образом функції, чи відображення.

Зауваження. Фактично в наведеному означенні відображення f відбулася така підміна слів, а саме, «правило» замінили на «відповідність».

Слова: функція, відображення, оператор, відповідність, перетворення, формула вигляду у = f(х), таблиця nxm, трансформація, – слова-синоніми, що дуже близькі до поняття взаємодії між двома множинами. Однак, кожне з цих слів, вказує на різні точки зору математиків на зміст відповідності або принцип(властивості) взаємодії між двома множинами і на різну природу  двох множин. Ось чому точний зміст правила відображення між двома множинами є найважливішим при задані функції.

Таким чином, задання функції вимагає від математика спочатку дати точне означення трьох обʼєктів:

1)     усіх елементів множини Х, яку називають ще множиною визначення функції, у шкільній математиці її називають областю визначення функції  і позначають символом D(f). Для функції, заданої деякого формулою, під областю визначення функції часто розуміють (якщо вона прямо не зазначена) мно­жину допустимих значень аргументу, тобто всіх тих його значень, для яких формула дає дійсне значення для функції;

2)     усіх елементів множини Y, яку називають ще множиною значення функції(у шкільній математиці її називають областю значення функції) і позначають символом Е(f).

3)     правило, яке ставить у відповідність кожному елементу х із множини D(f) точно один елемент із множини Е(f).

Приклад 1. а) Якщо ставиться правило взаємодії між множиною автомобілів  А і множиною водіїв В, то отримуємо  процес, який називають  рух транспортних засобів і цей процес описується поняттям функція;

б) Між множиною мобільних телефонів М і множиною користувачів  мобільного зв’язку  N встановлюємо правило користування, то отримаємо процес обміну даними між користувачами, який описується поняттям функція.

В) Між множиною товарів М і множиною вартостей(різних затрат на виготовлення в грошовому еквіваленті)  N встановлюємо правило оцінювання собівартості товарів, то отримаємо процес ціноутворення товарів, який описується поняттям функція.

Інтуїтивне означення функції.

Інтуїтивно, функція ‒ це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню.

Приклад 2.  В кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили ‒ біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними ‒ улюблені кольори.

Приклад 3. Час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті ‒ в якості вихідного значення.

«Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення.

Означення. Вхідне значення х називають аргументом функції, вихідне(яке обчислене за формулою або таблицею)  у = f(х), ‒ значенням функції.

Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа(кількісні характеристики), і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу.

Приклад. Функції може бути квадратична залежність: f(x) = x², яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.

В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.

Втім, в сучасній математиці розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визнчення) та B (яку іноді називають областю значення, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідності між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.

Рівність двох функцій.

Означення.  Множина X, множина вхідних значень, також називається областю визначення  f і позначають D(f), а  множину Y, множина усіх можливих результатів, називається областю значень і позначають Е(f), але більш коректно називати областю значень множину усіх тих елементів Y, для яких існують відповідні елементи з X. Тому в загальному випадку область значень є лише підмножиною Y.

Слід взяти до уваги те, що позначення

f: D(f)®E(f)

вказує на відображення області визначення функції  D(f) на область значення E(f).

Наприклад:  Запис

f: R®R

означає, що функція визначена на множині дійсних чисел і приймає свої значення на множині дійсних чисел.

Означення.  Тотожною функцією (тотожним відображенням) називають функцію, область значень і визначення якої збігаються.

Приклад. a) z : Z ® Z; b) n : N ® N;  b) q : Q ® Q; b) f : R ® R.

Означення.  Нехай  маємо дві функції

f₁ : Х₁ ®Y₁.

f₂ : Х₂ ®Y₂.

Ці дві  функції рівні тоді і тільки тоді, коли виконуються одночасно дві умови:

1) Х₁ = Х₂;

2) для будь-яких  елементів х із Х₁ маємо рівність  f₁(х) = f₂(х).

Позначення двох рівних функцій: f₁ = f₂.

Звуження і продовження двох функцій.

Означення.  Нехай  маємо функцію

f : Х ®Y.

і А деяка підмножина із Х. Нову функцію

f_зв : А ®Y

для будь-яких  елементів х із Х_о маємо рівність  f_зв(х) = f (х).

Функція  f_зв ‒ називається звуженням функції f на А.

Функція  f ‒ називається продовженням функції f_зв на Х.

Множина усіх функцій.

Множина всіх функцій f : X → Y позначається символом Y^X. При цьому потужність множини(кількість елементів)  |Y^X| = |Y|^|X|.

Образ і прообраз функції.

Означення.  Нехай  маємо функцію

f : Х ‒®Y.

Образом елемента x∈X для відображення (функції) f є результат відображення (функції) f(x).

Образ підмножини A⊂X для f є така підмножина Y, яка відповідає умові:

f(A) = {f(x) | x ∈ A}

Слід зазначити, що область значень f збігається з образом області визначення f(X).

Прообраз відображення (або обернений образ) множини B ⊂ Y для f є підмножиною множини X, визначеною як

f ⁻¹(B) = {x ∈ X | f(x) ∈B}

Графік функції.

Графік функції f є множина всіх впорядкованих пар (x, f(x)), для всіх x з області визначення X.

Класифікація відображень.

Означення.  Cюр'єкція ‒ це відображення однієї множини на другу. Іншими словами, відображення f : X ‒ Y множини X у множину Y нази­вається cюр'єкція, якщо будь-який елемент у з У має прообраз.

Cюр'єкція інакше називається сюр'єктивним відображенням, а також накладанням. Термін  сюр'єкція частіше вживається в науковій літературі й майже не вживається  в  навчальній  літературі  для  середньої  школи, тут використовують слово накладання.

Сюр'єктивна функція ‒ функція f:X→Y, область значень якої збігається з множиною Y, тобто, для кожного y із Y існує x із X такий, що f(x) = y.

Приклад. а) Лінійна функція, як відповідність між двома множинами дійсних чисел, яка задається формулою

у = f (x) = ах + b, ­­

‒ це сюрʼєктивне відображення.

б) Цілозначна квадратична функція, як відповідність між двома множинами цілих чисел, яка задається формулою

у = f (x) =  х² + x + 1,

 ­­‒ це несюрʼєктивне відображення, бо при будь-яких цілих значеннях аргументу отримуємо тільки непарні значення, не відбулося накладання на всю цілу множину значень.

Означення.  Інʼєкція ‒ це взаємно-однозначне відображення однієї множини в другу. Іншими словами, відображення f : X ‒ Y множини X у множину Y нази­вається ін'єкція, якщо:

1) будь-який елемент x₁ iз X має образ f(x₁).

2) будь-який елемент x₂ iз X має образ f(x₂).

3) із того що два елементи x₁, x₂ нерівні(різні), слідує, що нерівні і їх значення f(x₁) та f(x₂).

Ін'єктивна функція ‒ функція, в якій різним значенням аргумента відповідають різні результати, тобто, для двох елементів x, y з Y виконується: f(x) = f(y) тоді й тільки тоді, якщо x = y.

Приклад. а) Лінійна функція, як відповідність між двома множинами дійсних чисел, яка задається формулою

у = f (x) = - х - 1, ­­

‒ це інʼєктивне відображення.

б) Квадратична функція, як відповідність між двома множинами дійсних чисел, яка задається формулою

у = f (x) =  х²,

 ­­‒ це неінʼєктивне відображення, бо при будь-яких протилежних цілих значеннях аргументу отримуємо тільки рівні значення функції.

Означення.  Бієкція ‒  це відображення однієї множини в другу, яке задовольняє одночасно двом умовам:

1) відображення f : X ‒ Y є ін'єкція;

2) відображення f : X ‒ Y є сюр'єкція.

Бієктивна функція ‒ це функція, яка є одночасно сюр'єктивною та ін'єктивною, тобто встановлює взаємно однозначну відповідність між елементами множин X та Y.

У цьому випадку бієктивного відображення говорять, що функція здійснює взаємно однозначну відповідність між двома множинами: X та Y, тобто, дві множини мають однакову кількість елементів(або потужність множин однакова).

Приклад. Лінійна функція, як відповідність між двома множинами дійсних чисел, яка задається формулою у = kx + b, ­­‒ це бієктивне відображення, що характеризує усі можливі рівномірні процеси в природі.

Приклад.  Кубічна функції у = kx³. Ця функція є сюр'єктивною, і є ін'єктивною. Але інша кубічна функція у = kx³ ‒ х² є сюр'єктивною, і не є ін'єктивною.  

Табличний спосіб побудови функції

Означення.  Таблиці значень функції ‒  це таблиці, що містять числові зна­чення якої-небудь функції, обчислені для відповідних значень її ар­гументу. Найпростішим прикладом таблично заданої функції  є всім відома з початкової школи таблиця множення Піфагора. У середній школі широко застосовують чо­тиризначні таблиці. В. М. Брадіса.

Таблиці значень функції допомагають при різних розра­хунках у математиці, фізиці, хімії, астрономії, техніці та інших га­лузях знань і практичної діяльності людини. Раніше, коли не було калькуляторів у складанні таблиць в усі часи брали участь відомі математики, такі, як Л. Ейлер, А. Лежандр, К. Гаусс, Ю. А. Митропольський. Велику роботу щодо складання електронних програм для утворення математичних таблиць для нових і класичних спеціальних функцій проводять в науково-дослідних інститутах математики, фізики, кібернетики НАН України і зараз.

Термін табулювання функції означає  складання    й   конструювання    різноманітних математичних таблиць для знаходження значень складених але обмежених функцій на деякій множині.

Введемо означення обмеженої і неперервної функції.

Означення. Відкрита область на числовій множині -  це зв'язна множина точок цієї числової осі або декартової площини, яка ціл­ком складається з внутрішніх точок і будь-які дві точки області можна сполучити  ламаною,  яка  цілком складається з точок   області.

Означення. Область замкнена (або закрита область) на числовій осі — це відкрита область, яка доповнена всіма її межовими точками. Замкнена область  є замкненою множиною.

Означення. Обмежена множина дійсних чисел -  це множина {х} на числовій осі, для якої існує число В, таке, що для будь-якого елемента  х з  цієї множини   |х| <  В.

Означення. Обмежена функція у = f(х)  на даній множині Е - це функція, для якої множина значень, яких вона на­буває,  коли  аргумент перебігає Е,  є обмеженою множиною. Аналогічно функція називається обмеженою зверху (знизу), якщо множина її значень є обмеженою зверху (знизу) множи­ною.

Приклад. Будь-яка лінійна функція y = kx + b обмежена на проміжку замкненій множині Е, тобто, на числовому  проміжку [a; b].

Означення. Функція, що відображає множину W₁ на множину W₂ називається неперервною, якщо прообразом будь-якої відкритої множини в W₂ є відкрита множина в W₁. Можна впевнитися, що це означенння збігається з означенням неперевності функції в термінах відкритих інтервалів на числових множинах. Інтуїтивно це можна представити як відсутність «дірок», «різких коливань» функції.

Приклад. Усі лінійні функції у =  kx + b входять до так званого необмеженого простору неперервних функції.

Означення. Функція y = f f(х)  називається обчис­люваною, якщо існує алгоритм, що переробляє в f(х) усякий х, для якого { визначена, і не застосовується до жодного х, для якого f не ви­значена. Значеннями аргументу і значеннями обчислюваної функції  можуть бути лише так звані  конструктивні об'єкти.

Абстрактний спосіб побудови функції.

Приклад. Розглянемо більш абстрактний спосіб побудови функції. Множина Х складається з трьох елементів довільної природи, що позначені символами:

Х = { х₁; х₂; х₃}.

Множина Y складається з двох елементів довільної природи, що позначені символами:

 Y = { y₁; y₂}.

Cкільки існує:

а) сюрʼєктивних відображень множини Х на множину Y;

б) інʼєктивних відображень Х в множину Y;

в) бієктивних відображень множини Х на  множину Y; 

г) сюрʼєктивних відображень Y на Х;

д)  інʼєктивних відображень Х в множину Y?

е) бієктивних відображень Х в множину Y?

Розвʼязання. А) Складемо усі сюрʼєктивні відображення із множини Х на Y . Нехай є три «місця» із множини Х. 

Перше місце х₁ займає або y₁ або y₂. 

Друге місце х₂ займає або y₁ або y₂. 

Третє місце х₃ займає або y₁ або y₂. 

Таким чином на кожне з цих трьох місць із Х є  два претенденти  із Y. Тому 2*2*2 = 8 відображень. Перелічимо їх научно за допомогою таблиць:

Випадок 1. (х₁ ; у₁),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2	-	-	-
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Функція 1	х1	х2	х3

Випадок 2. (х₁;  у₁), (х₂ ;  у₁), (х₃;  у₂).

у2	-	-	(х3;  у2)
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	-
Функція 2	х1	х2	х3

Випадок 3. (х₁;  у₁), (х₂ ;  у₂), (х₃;  у₁).

у2	-	(х2 ;  у2)	-
у1	(х1 ; у1)	-	(х3 ;  у1)
Функція 3	х1	х2	х3

Випадок 4. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2	(х1 ; у2)	-	-
у1	-	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Функція 4	х1	х2	х3

Випадок 5. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₂), (х₃ ;  у₁).

у2	(х1 ; у2)	(х2 ;  у2)	-
у1	-	-	(х3 ;  у1)
Функція 5	х1	х2	х3

Випадок 6. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₂).

у2	(х1 ; у2)		(х3 ;  у2)
у1	-	(х2 ;  у1)
Функція 6	х1	х2	х3

Випадок 7. (х₁ ; у₁),  (х₂ ;  у₂), (х₃ ;  у₂).

у2		(х2 ;  у2),	(х3 ;  у2)
у1	(х1 ; у1),
Функція 7	х1	х2	х3

Випадок 8. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₂), (х₃ ;  у₂).

у2	(х1 ; у2)	(х2 ;  у2),	(х3 ;  у2)
у1	-
Функція 8	х1	х2	х3

Б) Складемо усі можливі інʼєктивні відображення із множина Х в Y. 

Отримаємо 6 відображень. Перелічимо їх научно:

Випадок 1. (х₁ ; у₁),  (х₂ ;  у₂).

у2	-	(х2 ;  у2)	-
у1	(х1 ; у1)
Функція 1	х1	х2	х3

Випадок 2. (х₁;  у₂), (х₂ ;  у₁).

у2	(х1 ; у2)	-
у1		(х2 ;  у1)	-
Функція 2	х1	х2	х3

Випадок 3. (х₂ ;  у₂), (х₃;  у₁).

у2	-	(х2 ;  у2)	-
у1		-	(х3 ;  у1)
Функція 3	х1	х2	х3

Випадок 4. (х₂; у₁),  (х₃ ;  у₂).

у2		-	(х3 ;  у2)
у1	-	(х2 ; у1)
Функція 4	х1	х2	х3

Випадок 5. (х₁ ; у₂),   (х₃ ;  у₁).

у2	(х1 ; у2)
у1	-		(х3 ;  у1)
Функція 5	х1	х2	х3

Випадок 6. (х₁ ; у₁),  (х₃ ;  у₂).

у2			(х3 ;  у2)
у1	(х1 ; у1),
Функція 6	х1	х2	х3

В) Складемо усі можливі бієктивні відображення із множина Х в Y. 

Отримаємо 0 відображень. Бо при бієктивному відображенні треба, щоб множини були рівно потужними, а у нас є різниця між кількістю елементів двох множин.

Г) Отримаємо 0 відображень.

Д) Отримаємо 6 відображень.

Випадок 1. (y₁ ; x₁),  (y₂ ;  x₂).

х3
х2		(y2;  x2)
х1	(y1 ; x1)
Функція 1	у1	у2

Випадок 2. (y₁ ; x₂),  (y₂ ;  x₁).

х3
х2	(y1 ; x2)
х1		(y2 ;  x1)
Функція 2	у1	у2

Випадок 3. (y₁ ; x₂),  (y₂ ;  x₃).

х3		(y2 ;  x3)
х2	(y1 ; x2)
х1
Функція 3	у1	у2

Випадок 4. (y₁ ; x₃),  (y₂ ;  x₂).

х3	(y1 ; x3)
х2		(y2;  x2)
х1
Функція 4	у1	у2

Випадок 5. (y₁ ; x₃),  (y₂ ;  x₁).

х3	(y1 ; x3)
х2
х1		(y2 ;  x1)
Функція 5	у1	у2

Випадок 6. (y₁ ; x₁),  (y₂ ;  x₃).

х3		(y2 ;  x3)
х2
х1	(y1 ; x1)
Функція 6	у1	у2

Е) Отримаємо 0  відображень.