Форми запису рівняння прямої

Форми запису рівняння прямої 

Рівняння прямої

що проходить через дану точку М(х_м; у_м)

у – у_м = k(х - х_м),

де k = tgj, кут j - це кут між прямою і додатним  напрямом осі Ох. 

Рівняння прямої

що проходить через дві дані точки

М(х_M; у_M) і N(х_N; у_N)

(у – у_M):(у_N – у_M)  = (х – х_M):(х_N – х_M),

у = (х - х_м)(у_N – у_м):(х_N - х_м) + у_м.

Умова належності трьох точок: 

А(х_а; у_а), В(х_b; у_b), C(х_c; у_c)

одній прямій

х_ау_b + х_bу_c + х_cу_a - х_cу_b – х_aу_c – х_bу_a = 0.

Відстань між двома точками М(х_M; у_M) і N(х_N; у_N)

обчислюється за формулою:

МN =[(х_N - х_M)²+(у_N - у_M)²]^0,5.

Приклад. Довести, що  трикутник АВС рівнобедрений, прямокутний, якщо А(1;0), В(1;3), С(4;3).
Розв’язання
Знайти довжини сторін

АВ =[(1- 1)²+(3 - 0)²]^0,5 = 3.

ВС =[(4- 1)²+(3 - 3)²]^0,5 = 3.
АС =[(4- 1)²+(3- 0)²]^0,5 = 3(2^0,5).
Оскільки АВ=ВС, то трикутник АВС – рівнобедрений, первіримо теорему Піфагора:
АВ² + ВС² = АС² ,  3² + 3² = 3²(2^0,5)²,
18=18, виконується теорема Піфагора, а значить трикутник АСВ – прямокутний.
Отже, трикутник АСВ – рівнобедрений і прямокутний.
2. Дано вершини чотирикутника А(6; -1), В(5; 1), С(1; 2) і D(2;-4). Довести, що АС+ВD.

Рівняння прямої у відрізках(канонічна форма)

x:а + y:b = 1,

де а і b довжини відрізків , як відтинає пряма на осях координат, починаючи від точки (0; 0).

Нормальне рівняння прямої

xсоsа + ysinа – p = 0,

де р довжина перпендикуляра від точки (0; 0) до даної прямої , а – це кут між  перпендикуляром р і додатним  напрямом осі Ох. 

Загальне рівняння прямої

аx + by + c = 0

де а²+ b²≠ 0

n(a; b)  - нормальний вектор(перпендикулярний до прямої).

Завдання для самостійного дослідження.

-7. Дано три точки А(0; 1),  В(1; 0),  С(1; 1). Який вид трикутника АВС? Знайдіть відстань  від початку координат до центра кола, описаного навколо цього трикутника.  Запишіть  рівняння прямих, що містять сторони даного трикутника.

-6. Який вид чотирикутника ABCD, якщо А( -8; 8),  В( -2; 6),  С( 0; -10), D(-6;-8)? .  Запишіть  рівняння прямих, що містять сторони даного чотирикутника.

-5. Який вид чотирикутника ABCD, якщо А( 4; -4),  В( 1; -3),  С(0; 5), D(-1;4)? Запишіть  рівняння прямих, що містять сторони даного чотирикутника.

-4. Знайти рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка SP, де S(-5; 1), P(-3; 5).

-3. Знайти рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка АВ, де А(2; 5), В(6; 3).

-2. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку К(-1,5; 0,5) прямокутної системи хОу і перпендикулярна до прямої, що задана рівнянням -5х + 7у = -11.

-1. Знайти рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка АВ, де А(-5; -2), В(2; 3).

0. Знайти найкоротшу відстань від початку координат О(0; 0) прямокутної системи хОу до точок, які належать прямій, що задана рівнянням х + у = 8.