Побудова композицій елементарних функцій.

Поняття точка, як елемента множини.

  Поняття «точка» ‒ це елемент деякої множини, що має деяку структуру. Це одне в основних понять геометрії, непряме означення якого дається в аксіомах при дедуктивній (аксіоматичній) побудові будь-якої геометрії. Природа точки може бути різноманітною.

Так, під точкою одновимірного евклідового простору  (аналог  якого в шкільній математиці, поняття числової прямої, або координатної прямої) розуміють будь-яке дійсне число, що вказує місце положення точки у цьому просторі.

Так, під точкою двовимірного евклідового простору(аналог  якого в шкільній математиці, поняття прямокутної системи координат, або координатної площини)  розуміють упорядковану множину із двох дійсних чисел.

Так, під точкою тривимірного евклідового простору (аналог  якого в шкільній математиці, поняття прямокутної системи координат у просторі) розуміють упорядковану множину із трьох чисел.

Під точкою  проективної площини розуміють упорядковану трійку пропорційних чисел (х₁ : х₂ : х₃), з яких принаймні одне не дорівнює нулю (арифме­тична модель точки.). Під точкою проективної площини в тривимірному евклідовому просторі можна розуміти евклідову пряму у в'язці прямих та площин (евклідова модель проективної площини).

В геометрії розглядають також унікальні та патологічні точки фігур: особлива точка, точка звороту, ізольована точка, точка перегину, точка перетину, точка розриву, точка самоперетину, кутова точка та інші точки

У теорії функцій і теорії множин розглядають точки, що характеризують властивості функцій і множин, які вивчаються: гранична точка, межова точка, точка щільності, точка мінімуму, точка максимуму, точки розв'язків рів­нянь та  інші   точки.

Іноді в фізиці, теорії ймовірностей розглядають матеріальні точки, розмірами якої можна знехтувати. В геометрії також розгля­дають спеціальні  точки,  щодо деяких фігур або перетворень. Таким чином, точка – це неподільний елемент деякої множини з певною не порожньою структурою порядку, з властивістю транзитивності, тобто однією з найважливіших властивостей, яку може мати бінарне відношення двох точок.

Означення. Говорять, що відношення двох точок m задовольняє умову транзитивності, коли з AmB і ВmС випливає, що АmС.

Приклади. Відношення { = , <, <;} на множині дійсних чисел транзитивні. Відношення нерівності на тій самій множині не задоволь­няє умову  транзитивності.

Означення функції.

Означення.  Нехай X , Y ‒ деякі множини. Відображенням f множини Х у множину Y будемо називати правило, яке кожному елементу х є Х ставить у відповідність точно один елемент у є Y.

 Слово «функція» має латинське походження, finction – виконувати. Цей термін ввів в математичну науку Г. Лейбніц. Позначення функції Г. Лейбніцом було таким:

у = f(х), хєХ.

Зараз для позначення функції використовують інше позначення:

f: Х ‒®Y.

 

Часто другу множину Y називають цільовою множиною чи образом функції, чи відображення.

Зауваження. Фактично в наведеному означенні відображення f відбулася така підміна слів, а саме, «правило» замінили на «відповідність».

Слова: функція, відображення, оператор, відповідність, перетворення, формула вигляду у = f(х), таблиця nxm, трансформація, – слова-синоніми, що дуже близькі до поняття взаємодії між двома множинами. Однак, кожне з цих слів, вказує на різні точки зору математиків на зміст відповідності або принцип(властивості) взаємодії між двома множинами і на різну природу  двох множин. Ось чому точний зміст правила відображення між двома множинами є найважливішим при задані функції.

Таким чином, задання функції вимагає від математика спочатку дати точне означення трьох обʼєктів:

1)                   усіх елементів множини Х, яку називають ще множиною визначення функції(у шкільній математиці її називають областю визначення функції ) і позначають символом D(f).

2)                   усіх елементів множини Y, яку називають ще множиною значення функції(у шкільній математиці її називають областю значення функції ) і позначають символом Е(f).

3)                   правило, яке ставить у відповідність кожному елементу х із множини D(f) точно один елемент із множини Е(f).

Приклад 1. а) Якщо ставиться правило взаємодії між множиною автомобілів  А і множиною водіїв В, то отримуємо  процес, який називають  рух транспортних засобів і цей процес описується поняттям функція;

б) Між множиною мобільних телефонів М і множиною користувачів  мобільного зв’язку  N встановлюємо правило користування, то отримаємо процес обміну даними між користувачами, який описується поняттям функція.

В) Між множиною товарів М і множиною вартостей(різних затрат на виготовлення в грошовому еквіваленті)  N встановлюємо правило оцінювання собівартості товарів, то отримаємо процес ціноутворення товарів, який описується поняттям функція.

Інтуїтивне означення функції.

Інтуїтивно, функція ‒ це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню.

Приклад 2.  В кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили ‒ біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними ‒ улюблені кольори.

Приклад 3. Час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті ‒ в якості вихідного значення.

«Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення.

Означення. Вхідне значення х називають аргументом функції, вихідне(яке обчислене за формулою або таблицею)  у = f(х), ‒ значенням функції.

Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа(кількісні характеристики), і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу.

Приклад. Функції може бути квадратична залежність: f(x) = x², яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.

В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.

Втім, в сучасній математиці розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визнчення) та B (яку іноді називають областю значення, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідності між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.

Рівність двох функцій.

Означення.  Нехай  маємо дві функції

f₁ : Х₁ ‒®Y₁.

f₂ : Х₂ ‒®Y₂.

Рівні тоді і тільки тоді, коли виконуються одночасно дві умови:

1) Х₁ = Х₂;

2) для будь-яких  елементів х із Х₁ маємо рівність  f₁(х) = f₂(х).

Позначення двох рівних функцій: f₁ = f₂.

Звуження і продовження двох функцій.

Означення.  Нехай  маємо функцію

f : Х ‒®Y.

і А деяка підмножина із Х. Нову функцію

f_зв : А ‒®Y

для будь-яких  елементів х із Х_о маємо рівність  f_зв(х) = f (х).

Функція  f_зв ‒ називається звуженням функції f на А.

Функція  f ‒ називається продовженням функції f_зв на Х.

Множина усіх функцій.

Множина всіх функцій f : X → Y позначається символом Y^X. При цьому потужність множини(кількість елементів)  |Y^X| = |Y|^|X|.

Образ і прообраз функції.

Означення.  Нехай  маємо функцію

f : Х ‒®Y.

Образом

Класифікація відображень.

Означення.  Cюр'єкція ‒ це відображення однієї множини на другу. Іншими словами, відображення f : X ‒ Y множини X у множину Y нази­вається cюр'єкція, якщо будь-який елемент у з У має прообраз.

Cюр'єкція інакше називається сюр'єктивним відображенням, а також накладанням. Термін  сюр'єкція частіше вживається в науковій літературі й майже не вживається  в  навчальній  літературі  для  середньої  школи, тут використовують слово накладання.

Приклад. а) Лінійна функція, як відповідність між двома множинами дійсних чисел, яка задається формулою

у = f (x) = х + 1, ­­

‒ це сюрʼєктивне відображення.

б) Цілозначна квадратична функція, як відповідність між двома множинами цілих чисел, яка задається формулою

у = f (x) =  х² + x + 1,

 ­­‒ це несюрʼєктивне відображення, бо при будь-яких цілих значеннях аргументу отримуємо тільки непарні значення, не відбулося накладання на всю цілу множину значень.

Означення.  Інʼєкція ‒ це взаємно-однозначне відображення однієї множини в другу. Іншими словами, відображення f : X ‒ Y множини X у множину Y нази­вається ін'єкція, якщо:

1) будь-який елемент x₁ iз X має образ f(x₁).

2) будь-який елемент x₂ iз X має образ f(x₂).

3) із того що два елементи x₁, x₂ нерівні(різні), слідує, що нерівні і їх значення f(x₁) та f(x₂).

Приклад. а) Лінійна функція, як відповідність між двома множинами дійсних чисел, яка задається формулою

у = f (x) = - х - 1, ­­

‒ це інʼєктивне відображення.

б) Квадратична функція, як відповідність між двома множинами дійсних чисел, яка задається формулою

у = f (x) =  х²,

 ­­‒ це неінʼєктивне відображення, бо при будь-яких протилежних цілих значеннях аргументу отримуємо тільки рівні значення функції.

Означення.  Бієкція ‒  це відображення однієї множини в другу, яке задовольняє одночасно двом умовам:

1) відображення f : X ‒ Y є ін'єкція;

2) відображення f : X ‒ Y є сюр'єкція.

У цьому випадку бієктивного відображення говорять, що функція здійснює взаємно однозначну відповідність між двома множинами: X та Y, тобто, дві множини мають однакову кількість елементів(або потужність множин однакова).

Приклад. Лінійна функція, як відповідність між двома множинами дійсних чисел, яка задається формулою у = kx + b, ­­‒ це бієктивне відображення.

Табличний спосіб побудови функції.

Означення.  Таблиці значень функції ‒  це таблиці, що містять числові зна­чення якої-небудь функції, обчислені для відповідних значень її ар­гументу. Найпростішим прикладом таблично заданої функції  є всім відома з початкової школи таблиця множення Піфагора. У середній школі широко застосовують чо­тиризначні таблиці. В. М. Брадіса.

Таблиці значень функції допомагають при різних розра­хунках у математиці, фізиці, хімії, астрономії, техніці та інших га­лузях знань і практичної діяльності людини. Раніше, коли не було калькуляторів у складанні таблиць в усі часи брали участь відомі математики, такі, як Л. Ейлер, А. Лежандр, К. Гаусс, Ю. А. Митропольський. Велику роботу щодо складання електронних програм для утворення математичних таблиць для нових і класичних спеціальних функцій ведуться в науково-дослідних інститутах математики, фізики, кібернетики НАН України і тепер.

Термін табулювання функції означає  складання    й   конструювання    різноманітних математичних таблиць для знаходження значень складених функцій.

Абстрактний спосіб побудови функції.

Приклад. Розглянемо більш абстрактний спосіб побудови функції. Множина Х складається з трьох елементів довільної природи, що позначені символами:

Х = { х₁; х₂; х₃}.

Множина Y складається з двох елементів довільної природи, що позначені символами:

 Y = { y₁; y₂}.

Cкільки існує: а) відображень усієї множини Х в довільну підмножину Y; б) відображень довільної підмножини Х на  усю множину Y; в) відображень Y в Х; г) відображень Y на Х ?

Розвʼязання. А) Складемо усі можливі відображення із множина Х на Y . У нас є три місця із множини Х. 

Перше місце х₁ займає або y₁ або y₂. 

Друге місце х₂ займає або y₁ або y₂. 

Третє місце х₃ займає або y₁ або y₂. 

Таким чином на кожне з цих трьох місць із Х є  два претенденти  із Y. Тому 2*2*2 = 8 відображень. Перелічимо їх научно:

Випадок 1. (х₁ ; у₁),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2	-	-	-
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Випадок 1	х1	х2	х2

Випадок 2. (х₁;  у₁), (х₂ ;  у₁), (х₃;  у₂).

у2	-	-	(х3;  у2)
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	-
Випадок 2	х1	х2	х2

Випадок 3. (х₁;  у₁), (х₂ ;  у₂), (х₃;  у₁).

у2	-	(х2 ;  у2)	-
у1	(х1 ; у1)	-	(х3 ;  у1)
Випадок 3	х1	х2	х2

Випадок 4. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2	(х1 ; у2)	-	-
у1	-	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Випадок 4	х1	х2	х2

Випадок 5. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₂), (х₃ ;  у₁).

у2	(х1 ; у2)	(х2 ;  у2)	-
у1	-	-	(х3 ;  у1)
Випадок 5	х1	х2	х2

Випадок 6. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₂).

у2	(х1 ; у2)		(х3 ;  у2)
у1	-	(х2 ;  у1)
Випадок 6	х1	х2	х2

Випадок 7. (х₁ ; у₁),  (х₂ ;  у₂), (х₃ ;  у₂).

у2		(х2 ;  у2),	(х3 ;  у2)
у1	(х1 ; у1),
Випадок 7	х1	х2	х2

Випадок 8. (х₁ ; у₂),  (х₂ ;  у₂), (х₃ ;  у₂).

у2	(х1 ; у2)	(х2 ;  у2),	(х3 ;  у2)
у1	-
Випадок 8	х1	х2	х2

Б) Складемо усі можливі відображення із множина Х в Y( . У нас є три користувача мережі із множини Х.  У нас є два провайдера із множини Y. 

Тільки перший користувач х₁ вибирав умови провайдера y₁. 

Тільки перший і другий користувач х₁ вибирав умови провайдера y₁. 

Перший, другий, третій місце х₃ користувач х₁ вибирав умови провайдера y₁. 

Таким чином на кожне з цих трьох місць із Х є  два претенденти  із Y. Тому 2*2*2 = 8 відображень. Перелічимо їх научно:

Випадок 1. (х₁ ; у₁).

у2	-	-	-
у1	(х1 ; у1)
Випадок 1	х1	х2	х2

Випадок 2. (х₃ ;  у₁).

у2			-
у1			(х3 ;  у1)
Випадок 2	х1	х2	х2

Випадок 3. (х₂ ;  у₁).

у2
у1	-	(х2 ;  у1)
Випадок 3	х1	х2	х2

Випадок 4. (х₁;  у₁), (х₂ ;  у₁).

у2	-	-
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	-
Випадок 4	х1	х2	х2

Випадок 5. (х₁;  у₁), (х₃;  у₁).

у2	-		-
у1	(х1 ; у1)	-	(х3 ;  у1)
Випадок 5	х1	х2	х2

Випадок 6. (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2		-	-
у1	-	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Випадок 6	х1	х2	х2

 

Випадок 7. (х₁ ; у₁),  (х₂ ;  у₁), (х₃ ;  у₁).

у2	-	-	-
у1	(х1 ; у1)	(х2 ;  у1)	(х3 ;  у1)
Випадок 7	х1	х2	х2

Випадок 8. Порожня множина

у2	-	-	-
у1	-	-	-
Випадок 8	х1	х2	х2

 Слід взяти до уваги те, що позначення

f: D(f)E(f)

вказує на відображення області визначення функції  D(f) на область значення E(f).

Наприклад:  Запис

f: RR

означає, що функція визначена на множині дійсних чисел і приймає свої значення на множині дійсних чисел.

Функції як підмножини декартового добутку двох множин.

Взагалі не існує формального означення функції. Поняття функція відноситься до базових понять математики, і його можна лише спробувати назвати іншим синонімом, наприклад відображення, відповідність, закон чи підмножина декартового добутку двох множин, а саме це деяка множина пар

P =A×B ={(x, y), якщо x із А, y із В}.

Функцією (відображенням, трансформацією) f множини X в множину Y (позначається f : X → Y) називається така відповідність між множинами X та Y, яка задовольняє наступним умовам:

1)                   Відповідність f всюди визначена, тобто, для будь-якого x з X існує такий y з Y, що x f y (y є образом x для функції f), тобто, для будь-якого x з X існує хоча б один образ y з Y.

2)                   Відповідність f є відповідністю багато-до-одного, або функціональною, тобто, якщо xfy та xfz, то y = z, тобто, y може бути образом зразу декількох елементів з X, але один елемент x не може породжувати більше одного образа з Y. Таким чином, за цією властивістю функція для кожного елемента х із Х не може бути двозначною, тризначною і т.д. Функція може бути тільки однозначною.

Функції як проекції двох множин на множину.

Елемент y із Y, який відповідає елементові x із X позначається як f(x).

Також можна розуміти, що відображенням (функцією) з X в Y є така відповідність  множина точок  f(x), яка повністю входить в декартовий добуток XхY f⊆AхB, в якій кожному елементові(а саме проекції f(x) на множину Х) aєPr1f відповідає тільки один елемент( а саме проекції f(x) на множину Y) з Pr2f (тут символ «х» означає Декартів добуток множин, Pr1f та Pr2f ‒ відповідні проекції відображення).

Багатозначні функції.

Відповідність між X та Y, яка задовольняє тільки умові: f всюди визначена, тобто, для будь-якого x з X існує такий y з Y, що xfy (y є образом x для функції f), тобто, для будь-якого x з X існує хоча б один образ y з Y називається багатозначною функцією.

Будь-яка функція є багатозначною функцією, але не кожна багатозначна функція є функцією. Відповідність, яка задовольняє тільки умові (2) є часткова функція. Будь-яка функція є частковою, але не кожна часткова функція є функцією. Ми розуміємо, що функцією є така відповідність між множинами, яка задовольняє одночасно умовам (1) та (2), якщо інше не вказується додатково.

Функції багатьох змінних, де

y = f(x₁, … , x_n),

тобто де y одночасно залежить від n змінних, можна визначити як відображення виду

f: Xⁿ → Y,

де Xⁿ ‒ n-степінь множини X.

   Композицією двох функцій

f: АВ 

р: ВС

називається функція

к: АС,

яка визначається тотожністю  к(х) =  р(f(x)), де х є А

Композиція  р(f(x)) читається справа наліво: композиція функцій  f та р.

Іноді в математичній літературі використовують позначення композиції двох функцій fp.

Зауваження. Як правило   р(f(x)) f(p(x)).

        Приклад 1.

Знайти складену функцію

f(f(f(х)))

якщо f(х)= -3х+2 та обчислити її значення при х= -1.

Розв’язання: Розпочнемо конструювати  композицію для лінійної функції

                          f(x) = ax + в, де аR, вR.                

Підставимо  в аргумент  шуканої функції аx+в

f(f(x)) =  f(аx+в) = a(аx+в)+ в =а2х + вa+в

і послідовно продовжимо аналогічну процедуру підстановки.

Отже для даної функції знайдемо послідовність композицій складених функцій:

g(x) = f(f(x)) = -3(-3х+2) + 2 = 9х-6+ 2 = 9х – 4.

h(x) = f(g(x)) = f( f(f(x)))  = -3(9х-4) + 2 = -27х +12 + 2 = -27х + 14.  f( f(f(-1)))  = 41.

Відповідь:  -27х + 14; 41.

          Приклад 2.

Знайти складену функцію

f(f(...f(х))...)  (11-разова композиція f),

якщо f(х)= -х3 та обчислити її значення при х= -1.

Розв’язання: Розпочнемо конструювати  композицію для кубічної функції

                       H1(x)   =    f(x) =-х3

Підставимо  в аргумент  шуканої функції -х3

H2(x)  =  f(f(x)) =  f(-х3) = -(-х3)3 = х9

і послідовно продовжимо аналогічну процедуру підстановки.

Отже для даної функції знайдемо послідовність композицій складених функцій:

          H3(x)    =      f( f(f(x)))  = f(х9) = -(х9)3 = -х27, 

            ..................................................................,

         H11(x)    =      f(... f(f(x)...))  = -х177147  . 

Обчислимо значення функції

     H11(-1)    =      f(... f(f(-1)...))  = -(-1)177147  = 1. 

Відповідь:  1

       Цікавими для математиків являються композиції двох функцій, які не змінюють значення аргументу, тобто композиції виду

f(p(у))=у      та         р(f(x))=х,    (*)

де   x є А, у є В,

f: АВ 

р: ВА .

       Такі композиції  будемо вважати функціональними рівняннями, а пару функцій, що задовольняє  рівностям  (*) називатимемо взаємно оберненими  функціями. Множина  розв’язків  двох рівнянь (*) – це клас функцій, за допомогою яких математики розв’язують звичайні, тригонометричні, логарифмічні та інші рівняння.

        Тому важливо знати умови існування обернених функцій.

Всі функції можна розбити на два класи: 1. Функції, обернені до яких є функціями; 2. Функції, обернені до яких не є функціями. Перші називаються оберненими, другі – не обернені.

    Обернені функції – це відповідність, в якій немає пар з однаковими першими та різними другими компонентами(функція!!!) та немає пар з однаковими другими та різними першими компонентами (обернена!!!)

Тому обернена функція кожне своє значення приймає тільки один раз, а її графік у декартовій системі координат не має точок з однаковими абсцисами і різними ординатами, а також точок з різними абсцисами, але однаковими ординатами.

            Приклад 3.

Знайти лінійну функцію р(х)

                                р(f(х)) = х,

якщо f(х)= -4х + 3.

Розв’язання:

   Спочатку з’ясуємо, чи дана функція може мати обернену. Якщо припустити, що дана функція немає оберненої, то повинні існувати такі значення х1 х2, для яких  f(х1)=f( х2). Тоді -4х1+3=-4х2+3 звідки х1  =  х2. Дане протиріччя доводить, що дана функція має обернену.

   Розпочнемо конструювати взаємно обернену функцію. Нехай  у=-4х+3. Замінимо х на  у. А потім виразимо у через х.

х = -4у + 3,   звідси    -4у = х - 3,

остаточно       у = -0,25х + 0,75.  

   Таким чином,

 f(х)= -4х + 3 та р(х) = -0,25х + 0,75. Виконаємо перевірку.

р(f(х))= -0,25(-4х + 3) + 0,75 = х - 0,75 + 0,75 = х.

  Області визначення та області значення обох функцій становлять множину дійсних чисел.

Відповідь: р(х) = -0,25х + 0,75.

   Існують функції, які обернені самі до себе. До них належать такі функції у=1/x, y=x, y=-x, y=(x+1)/(x-1)  і т.д. Постарайтесь впевнитися в цьому самостійно.

Графіки взаємно обернених  функцій завжди симетричні відносно прямої y=x.