Продовження дійсної функції на множину точок розривів

Дослідження властивостей видів розривів у дійсної функції

Використаємо системний підхід.

Системний підхід — це спосіб розв'язання практичних завдань, який полягає в розгляді у єдиній системі вихідних умов, необхідних операцій і засобів їх проведення.



Розглянемо особливі графіки функцій

Таким чином,  аналізуючи ліві та праві границі в точці розриву х=0+ та х=0-, ці функції можуть набувати  неоднозначності, тобто, деяку дійсну множину числових значень.

Запитання для актуалізації знань з теми 

1.      Означення функції вимагає однозначну відповідність? Яку?

2.      Функція – це закон відповідності, чи значення, яке вона приймає?

3.      Як визначається функція при аналітичному способі задавання?

4.      Як визначається функція при табличному способі задавання?

5.      Як визначається функція при графічному способі задавання?

6.      Як визначається функція при словесному способі задавання?

7.      Що називають числовою послідовністю?

8.      Що називають областю визначення функції?

Означення ніде не щільної множини.

В топології  множина {\displaystyle A}А топологічного простору {\displaystyle (X,\tau )}Х називається ніде не щільною тоді і тільки тоді, коли множина внутрішніх точок її замикання є порожньою: int  cl  A = {0}.    {\displaystyle \operatorname {int} \;\operatorname {cl} \;A=\emptyset }

Інакше кажучи множина не є щільною в жодному околі простору X{\displaystyle X}.

Лема. Множина  A, що являється підмножиною  деякої множини X є ніде не щільною в Х  тоді і тільки тоді, коли в кожній непустій відкритій множині U можна знайти непусту відкриту множину V, що не перетинається з A(тобто  множина V являється підмножиною  різниці  двох таких множин  U і A).

Властивості  ніде не щільних множин.

1.Сім'я NWD(X) всіх ніде не щільних множин топологічного простору Х  утворюють ідеал підмножин X, тобто виконуються три умови:

1) якщо дві множини  A,B , які належать NWD(X), то об’єднання  двох множин  A B належать NWD(X),

2) якщо  A, що належить NWD(X) і B належить A, то  B належить NWD(X),

3) якщо топологічний простір  X не належить NWD(X).

2.Якщо підмножина  A входить в множину Y, яка входить в топологічний простір X  і  множина  A є ніде не щільною в  топології  Y , тобто A належить NWD(Y), де топологія в Y успадкована від  топології X,  тоді A належить сім’ї ніде нещільних множин  NWD(Х).

3. Якщо підмножина  A входить в множину Y, яка входить в топологічний простір X  і  множина  A є  щільною в  топології  Y, тоді  A належить NWD(Х), тоді і тільки тоді, коли  A належить NWD(Y).

Множина  A є ніде не замкнутою тоді і тільки тоді, коли її замикання є ніде не щільною множиною. Таким чином кожна ніде не щільна множина міститься в деякій замкнутій ніде не щільній множині.

Замкнута ніде не щільна множина є границею відкритої множини.

Означення множини першої категорії.

У таких галузях математики як загальна топологія, описова теорія множин, множиною першої категорії називається зліченне об'єднання ніде не щільних множин.

Доповнення множини першої категорії називається залишковою множиною.

Означення множини першої категорії. Для топологічного простору X, підмножина A в X називається худою (множиною першої категорії), якщо вона може бути зображена у вигляді зліченного об'єднання ніде не щільних підмножин X. Аналогічно, залишкова множина та, чиє доповнення є множиною першої категорії, або, що еквівалентно, зліченний перетин множин із щільними внутрішніми множинами.

Нагадаємо, що підмножина B із X ніде не щільна, якщо немає околу, на якому B щільна: для будь-якої непорожньої відкритої множини U в X існує непорожня відкрита множина V, що міститься в U така, що V і B не перетинаються.

Зверніть увагу, що доповнення ніде не щільної множини щільна множина, але не кожна щільна множина має такий вигляд. Точніше, доповнення ніде не щільної множини — множина з щільною внутрішністю.

Відношення до ієрархії Бореля.

Так само, як ніде не щільна підмножина не обов'язково замкнена, але завжди міститься у замкнутій ніде не щільній підмножині (а саме, її замиканні), множина першої категорії не мусить бути множиною типу Fσ (зліченним об'єднанням замкнутих множин), але завжди міститься в Fσ множині з ніде не щільних множин (шляхом взяття замикання кожної множини).

Аналогічно, як доповнення ніде не щільної множини не мусить бути відкритим, але має щільну внутрішність (містить щільну відкриту множину), залишкова множина не мусить бути множиною типу Gδ (зліченним перетином відкритих множин), але містить щільну Gδ множину, що складається з щільних відкритих множин.

Властивості множин першої категорії.

1)Будь-яка підмножина множини першої категорії являється множиною першої категорії;

2)Будь-яка множина, що містить залишкову множину, є залишковою множиною;

3)Зліченне об'єднання множин першої категорії також є множиною першої категорії;

4)Зліченний перетин множин другої категорії є залишковою множиною.

Приклади.

Підмножини дійсних чисел

Раціональні числа множина першої категорії як підмножина дійсних чисел і як простір — вони не берівський простір.

Множина Кантора є множиною першої категорії як підмножина дійсних чисел, але не як простір, тому що ця множина повний метричний простір - таким  чином, берівський простір, за теоремою Бера про категорії.

Функціональні простори.

Множина функцій, які мають похідну в деякій точці, тобто функція має границю відношення приросту значень функції  до приросту  значень аргументу, це  множина першої категорії в просторі всіх неперервних функцій на дійсній області визначення.[1]

Функціонал — відображення векторного простору на базову множину для цього простору, здебільшого на множину дійсних чисел. Прикладом функціоналу є норма.

Функціонали широко використовуються у варіаційному численні.

Ідея доозначення продовження дійсної функції на  множину точок обмежених розривів  і на особливі  точки І роду не існування функції .

Ідея 1. Для класифікації  усіх можливих видів обмежених  розривів   у  дійсної  функції  

f(x): D(f)-->E(f),

що задана явним способом на полі дійсних чисел, застосуємо  функціонал L(R_f), який означений  на множині першої категорії, елементами якої є  лише дійсні однозначні послідовності {r_n}_n=1 ^oo,  якщо виконуються умови:

1)  для  деякої послідовності 

 r(n):  N-->R;  де  N – множина  натуральних чисел, 

однозначно існує  числова границя  Q на множині: R\D(f),  тобто   

r(n) ) à Q;  n àoo.(ця послідовність має границю  на множині  точок, в яких функція не визначена, або має розриви різного роду).

2)складена послідовність f_n(r(n) ) має  однозначну числову границю G  на множині дійсних чисел , тобто  

   f_n(r(n) ) à G;  n àoo.

3)будь-яка границя   G  належить одній із двох  множин: або множині LR - усіх існуючих лівих границь f(x)  , або множині LP - усіх   правих границь дійсної  функції  f(x).( цей пункт, на мою думку,  дає слушне  доозначення  точніше продовження явно заданої  функції на точки обмеженого розриву, аби на основі деякої множини значень, яка  характеризується властивостями функції:  

f(x): R\D(f)--> LR+LP.
Множина LR+LP означає об'єднання двох множин: LR - множини значень лівих границь в точках обмеженого розриву функції та  LP -множини значень правих границь в точках обмеженого розриву функції;
LR+LP може бути таких номінацій: 1) скінчена послідовність; 2)злічена послідовність; 3) ніде не щільною множиною із довільних чисел; 4) множиною першої категорії; 5) борелівською множиною відкритих інтервалів; 6)замкненим проміжком на полі дійсних чисел.
Примітка. Варто прийняти до уваги, те, що доозначаючи функцію  в обмежених точках розриву функції ми втрачаємо класичне означення функції в точках розриву. Чому це так? В точці розриву функція може набувати  одразу декількох значень із множини LR+LP., саме це порушує означення поняття функції. При вище викладеному означенні  значення функції в розривних точках не втрачається класичне означення функції в неперервних точках, проте класичне означення функції в точках обмеженого розриву втрачає лише однозначність(бо виникає множина значень функції для  одного значення аргументу(точки розриву), тому я пропоную в точках обмеженого розриву функції замінити поняттям функціоналу(відображення множини числових послідовностей на множину односторонніх границь) , а в точках необмеженого розвиву функції пропоную замінити поняттям оператора(відображення множини   асимптотичних функцій на множину усіх наявних асимптот у цієї функції).

Таке означення  можна використати для виявлення кількісної міри у  множини обмежених розривів дійсної функції, тобто вимірювати потужність множини її односторонніх значень  границь  функції у точках розривів.

	Таблиця класифікації  видів точок розриву у  дійсної функції з даними властивостями
1	Види неперевності дійсних функцій	неперервна на всій D(f)
2		локально розривна із декількома розривами І роду на  D(f)
3		локально розривна із зліченими розривами І роду на  D(f)
4		локально розривна з декількома розривами ІІ роду на D(f)
5		локально розривна із зліченими розривами ІІ роду на D(f)
6		локально розривна з довільною множиною усувних розривів(виколотими точками)
7		локально розривна з декількома неусувними обмеженими розривами справа (зі стрибками)
8		локально розривна з зліченими неусувними обмеженими розривами справа (зі стрибками)
9		локально розривна з декількома неусувними необмеженими розривами справа
10		локально розривна з зліченими неусувними необмеженими розривами справа
11		локально розривна з декількома неусувними обмеженими розривами зліва(зі стрибками)
12		локально розривна з зліченими неусувними обмеженими розривами зліва(зі стрибками)
13		локально розривна з декількома неусувними необмеженими розривами зліва
14		локально розривна з зліченими неусувними обмеженими розривами зліва
15		локально розривна з декількома неусувними необмеженими розривами справа і зліва
16		локально розривна з зліченими неусувними необмеженими розривами справа і  зліва
17		локально розривна з неусувними необмеженими розривами справа і зліва
18		локально розривна в усіх точках на D(f)з неусувними обмеженими розривами(дискретна) з обмеженою сумою усіх стрибків функції
19		локально розривна в усіх точках на D(f)з неусувними обмеженими розривами(дискретна) з необмеженою сумою усіх стрибків функції
20		локально розривна в одній точці на D(f)з деякою числовою множиною значень границь (лівих або правих) в цій точці розриву.

Поняття функції

Спочатку нагадаємо про зміст фундаментального поняття функції структуру.

Означення. Функція – це відображення,  яке кожному числу х із деякої множини чисел Х за певним правилом поставить у відповідність деяке число у із деякої множини чисел Y.

В таких випадках кажуть, що у є функція  від х і позначають

y = f (х),

де f ‒ правило(формула), за яким кожному х відповідає у, а f(х) означає саме число у, що відповідає.

Означення.  Множина Х називається областю визначення функції f.

Область визначення може бути не тільки числовою множиною, наприклад, це може бути множина фігур, або множина функцій із деякою властивістю.

Означення. Множина Y усіх елементів y, таких, що

y = f(х)

для кожного х із Х називається  множиною значень функції f.

Множина значень функції f  може бути не тільки числовою множиною, наприклад, це може бути множина товарів, які виготовляє і реалізує підприємство, або множина функцій із деякою властивістю.

Способи задання функцій.

Функцію можна задати аналітично, що означає вказати усі формули, за допомогою яких дістанемо усі значення функції. До речі, аналітичні вирази, що описують послідовність операцій, які треба виконати з елементом х, щоб дістати елемент   у.   Наприклад,   у = -5х² + 3х ‒ 2.

Функцію можна також задати звичайною таблицею, де явно зазначено, який елемент(або число, або точка) у із Y відповідає елементу(або числу, або точці) х із Х. Таке задання Ф. зручне у випадку скінченної мно­жини Х. 

Наприклад, таблиця

х1	х2	х3	…	хn-2	хn-1	хn
y1	y2	y3	…	yn-2	yn-1	yn

задає функцію, що ставить у відповідність числам

х₁, х₂, . . . , х_n

числа

у₁, у₂, . . . , у_n

відповідно.  Область визначення цієї функції є скінченною
множиною

X = {х₁, х₂, . . . , х_n}.

Функцію можна задати також словесно (вербально). Наприклад, кожній робочій мобілці відповідає її власник.

Позначення функції.

Отже, функція є (довільне) відображення множини Х в чис­лову множину Y, що символічно позначають так:

f: X ® Y.

Означення. Елемент

х є Х

називають аргументом функції, а елемент

у є Y

називають зна­ченням   функції.

Іноді множини Х на Y явно не зазначають, але мають на увазі.

Якщо функцію задано аналітично, то областю визначення функції звичайно вва­жають множину всіх тих чисел х, для яких можна обчислити відпо­відне у за порядком обчислень, заданим аналітичним виразом.

У цьому випадку область визначення функції  називають областю допустимих значень функції. (скорочено записують: ОД3).   Наприклад, а)ОД3функції у = 1: (х² – 1)  це множина дійсних чисел, окрім двох чисел: -1 і 1, і позначають цю множину так:

D(y) = (- ∞;-1 )È (-1; 1)È (1; +∞).

А чому це так? Адже значення функції можна   обчислити   за   аналітичним    виразам    1: (х² – 1) тільки для тих значень х, які зазначені вище.

а)ОД3функції z = 1оg₂x це множина дійсних додатних чисел,  і позначають цю множину так:

D(y) = (0; +∞),

адже значення функції можна   обчислити   за   аналітичним    виразам    1оg₂x  тільки для тих значень х, які зазначені вище.

У ширшому розумінні поняття функція використовується як синонім
поняття відображення множини функцій X в множину функцій Y

f : Х ® Y

(Х та Y ‒ множини довільних елементів, не обов'язково це тільки числові). В цьому випад­ку, як і у випадку числових множин X та Y, ці множини називають областю визначення й множиною значень функції f.

Означення.  Залежно від природи елементів множин Х та Y для функції f застосовують такі назви:

а) якщо Х = (- ∞;+∞) та Y = (- ∞;+∞) ‒ множини дійсних чисел, то f  називається дійсна функція дійсного аргументу;

б) якщо Х = (- ∞;+∞) множина дійсних чисел, а Y множина комплексних чисел, тобто

С = {(a + ib| a є (- ∞;+∞), b є (- ∞;+∞),  i ²= ‒1},

то f називається комплексна функція дійсного аргументу;

в) якщо Х  та Y ‒ множина комплексних чисел, Х = Y = С
то f  називається комплексна функція комплексного аргументу;

г) якщо  X   складається з упорядкованих наборів (х₁, х₂, . . . , х_n) дійсних або ком­плексних чисел х₁, х₂, . . . , х_n, а Y ‒ множина дійсних або комплекс­них чисел, то f  називається дійсна або комплексна функція  дійсних або комплексних аргументів;

д) якщо Y складається з векторів деякого простору, то f  називається вектор-функція;

е)якщо X складається з функцій а Y ‒ числова множина, то f  називається функціоналом.

є) якщо X складається з функцій та Y ‒ складається з функцій, то f  називається оператором.

ж)якщо X складається з натуральних чисел та Y ‒ складається з чисел(функцій), то f  називається послідовністю чисел (функцій).

В старі часи поняття функції означали як змінну величину, що нині виявилося незадовільним через нестрогість означення поняття змінної  величини.

Нещодавно в шкільному курсі математики поняття функції означали за допомогою функціонального відношення. А саме: відношенням називається підмножина М у прямому добутку

X×У = {(a;b )| a є X, b є Y },

множин Х та Y.

Означення. Функціональним відношенням називається відношення S, що має властивості:

1.Для  кожного   х є Х  існує  єдиний  елемент   виду   (х, у) є S.

2. Для кожного  yє Y  існує не обов'язково єдиний елемент виду (х, у) є є S, х є Х  .

Отже, можна розуміти поняття функції як підмножини декартового добутку двох множин.

Взагалі не існує формального означення функції. Поняття функція відноситься до базових і фундаментальних  понять  математики, і це поняття можна лише спробувати назвати іншим синонімом, наприклад відображення, відповідність, закон чи підмножина декартового добутку двох множин, а саме це деяка множина пар

P =A×B ={(x, y), якщо x із А, y із В}.

Означення. Функцією (відображенням, трансформацією) f множини X в множину Y (позначається f : X → Y) називається така відповідність між множинами X та Y, яка задовольняє наступним умовам:

1)відповідність f всюди визначена, тобто, для будь-якого x з X існує такий y з Y, що x f y (y є образом x для функції f), тобто, для будь-якого x з X існує хоча б один образ y з Y;

2)відповідність f є відповідністю багато-до-одного, або функціональною, тобто, якщо xfy та xfz, то y = z, тобто, y може бути образом зразу декількох елементів з X, але один елемент x не може породжувати більше одного образа з Y.

Таким чином, за цією властивістю функція для кожного елемента х із Х не може бути двозначною, тризначною і т.д.  Класична функція може бути тільки однозначною.

Композиція функцій.

Означення. З двох функцій

f: X → Y

та

g: Y → Z

можна побудувати композицію функцій таким чином: спершу застосувавши f до аргументу x є X, а потім застосувавши g до результату. Така композиція функцій позначається

g° f: X → Z,

тобто

(g° f)(x) = g(f(x)) для всіх x є X.

Тотожна функція, вкладення, продовження та звуження.

Означення. Відображення (функція)

E: X → X,

таке, що E(x) = x для будь-якого x із X, має назву тотожного відображення, про яке говорять, що воно відображує X в себе.

Означення. Відображення

I: X → Y,

яке відображує елемент x з X в такий же елемент, але в Y, називається вкладенням.

Означення. Відображення

g': X → Y

називається звуженням (обмеженням) відображення

g: X' → Y' ,

якщо X та Y є підмножинами X' та Y' відповідно. Відображення g, в свою чергу, називається продовженням відображення g'.

Обернена функція.

Деякі функції мають відповідні обернені функції.

Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції.

Означення. Якщо композиція функцій

f ° g = E_Y, де E: Y→Y

‒ тотожне відображення,

то f має назву лівого оберненого до g,  а g має назву правого оберненого до f.

Якщо справедливо і

f ° g = E_Y і g° f = E_X,

то g має назву оберненого відображення (функції) до f і позначається як f ⁻¹, тобто g = f ⁻¹.

Завдання для опрацювання.

1. Створити «довідник «Функції» який складається з 20 номінацій:

1. Назва функції( вибрати із списку: постійна; пряма пропорційність, кусково-лінійна, лінійна,  мантиса; абсолютна величина, обернена пропорційність, квадратична; кубічна, лінійно-дробова,  ант’є; поліноміальна, дробово-раціональна, ірраціональна; тригонометрична, показникова, логарифмічна,  складена),
2. Формула функції(текст),
3. Назва графіка(у вигляді списку: точки, відрізки, ламана, пряма, парабола, гіпербола, крива лінія, кускова крива лінія),
4. Область визначення(у вигляді списку: дійсні додатні; дійсні від’ємні; усі дійсні, інтервали, точки),
5. Область значення (у вигляді списку: дійсні додатні; дійсні від’ємні; усі дійсні, інтервал, точка),
6. Розташування графіка(у вигляді списку: І чверть; ІІ чверть; ІІІ чверть; ІV чверть)
7. Нулі функції(у вигляді списку: немає нулів, один нуль, два нулі, більше нулі),
8. Точка перетину з віссю Оу.
9. Знакозмінність функції(у вигляді списку: додатна,  від’ємна, знакозмінна),
10. Парність функції(у вигляді списку: парна, непарна, не парна ні непарна);
11. Асимптоти функції( у вигляді списку: горизонтальні, вертикальні, похилі);
12. Періодичність функції(логічна так/ні,  має найменший додатний період, немає найменшого додатного періоду),
13. Неперервність функції(у вигляді списку: має точки розриву І роду(імпульси, стрибки); немає точок розриву; має точки розриву ІІ роду(не існує  або лівої границі або правою границі функції)),
14. Обмеженість функції(у вигляді списку: обмежена зверху, обмежена знизу; обмежена і зверху і знизу), Монотонність функції(у вигляді списку: зростаюча, спадна,  локально монотонна, неспадна, незростаюча),
15. Критичні точки функції(у вигляді списку:  точка мінімуму; точка максимуму;  точка перегину, неусувна точка розриву(асимптотична точка), точка перелому, одностороння точка, усувна точка розриву(має  дві рівні між собою односторонні границю в точці, де функція невизначена), точка імпульсу(стрибка))
16. Границі функції на безмежностях.
17. Локальні  екстремуми функції.
18. Глобальні екстремуми функції.
19. Випуклість функції(у вигляді списку: випукла вгору; випукла вниз, невипукла);
20. Особливості графіка функції.

Завдання 1. Знайти область визначення та множину значень функції.

1.  . Знайти , , .

2.  . Знайти , , .

3.  . Знайти , , .

4.   Знайти , , .

5.  . Знайти , , .

Завдання 2. Знайти область визначення функції.

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  .

7.  .

8.  .

9.  .

10.  .

Завдання 3. Дослідити функції на парність (непарність).

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  .

7.  .

8.  .

9.  .

Завдання 4. Для заданої функції  знайти обернену.

1.  .

2.  .

3.  : 1) ; 2) .

4.  : 1) ; 2) .

5.  : 1) ; 2) .

6.  

7.  

Завдання 5. Побудувати графік функції.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

31. .

32. .

33. .

34. .

35. .

36. .

.

6.19. Орієнтовна контрольна робота № 6

1. Дано функцію . Знайти  та , а також , , .

2. Знайти область визначення функції .

3. Дослідити функцію  на парність (непарність).

4. Побудувати графік функції .