Комбінований спосіб для функ. рівнянь

Зразки розв'язування функціональних рівнянь комбінованим способом.
У наступних прикладах будуть отримані лише часткові розв'язки функціональних рівнянь:
адже спосіб або поточкового чи словесного задання функції, дає можливість визначати множину різних функцій, що задовольняють конкретне функціональне рівняння.

У наступних прикладах будуть отримані лише часткові розв'язки функціональних рівнянь

Яку функцію можна утворити за допомогою цих малюнків?

а) дискретну, б)неперервну в)зростаючу, д)постійну

г)спадну е)строго монотонну; є) обмежену.

Завдання на дослідження властивостей функцій.

Довідник. Формули скороченого множення

Властивості степенів з цілим показником

аⁿa^m=a^n+m;  аⁿ:a^m=a^n-m;  (аⁿ)^m=a^nm;  а⁰=1;  а^-n=1:aⁿ; а=а^0,5a^0,5=1a¹ =(a^0,5)²;

(ab)^m = a^mb^m = 1/a^{– m}b^{– m} =(ab)^m;     a^m:b^m = (a:b)^m = b^{– m} a^{– m} =(b:a) ^{– m}       

 Різниця та сума квадратів    1=0,25(m²+1)² – 0,25(m²-1)² ;  m=(m+0,25)²-(m-0,25)² ;   m²=0,25(m²+1)²-0,25(m²-1)²;   mⁿ=0,25(mⁿ+1)²-0,25(mⁿ-1)²   

a² + b² – не розкладається  на цілі множники на множині многочленів

a² – b² = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.

Різниця та сума кубів

а³ – b³ = (a – b)(a² + аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a + b)(a² – аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

Різниця та сума біквадратів

а⁴ – b⁴ = (a – b)(a³ + а²b + аb² + b³) = (a – b)(a + b)( a² + b²);

а⁴ + b⁴  - не розкладається на множники

а⁵ – b⁵= (a – b)(a⁴+ а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴ – а³b + а²b² – аb³ + b⁴);

a^2m + b^2m  - не розкладається на множники

аⁿ – bⁿ = (a–b)( a^n-1+ а^n-2b + а^n-3b² +… + а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді  аⁿ – 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

Степінь суми двох виразів.

(a±b)⁰ = 1;        (a±b)¹ = a±b;  1:aⁿ ±(1:bⁿ) =a^-n±b^-n=(ab)^-n(aⁿ ± bⁿ) =a^-n ± b^-n 

Квадрат  двочлена:

(a + b)² =(b + a)² = a² + 2ab + b² –  це квадрат суми двох чисел.

(a – b)² =(b – a)² = a² – 2ab + b² –  це квадрат різниці двох чисел.

Куб  двочлена:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  – це куб суми двох чисел;

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  – це куб суми або різниці двох чисел;

Іноді стають у нагоді такі формули:

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² + b⁴;

(a±b)⁵ = a⁵±5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ± b⁵;

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

Для непарних n: аⁿ + bⁿ = (a+b)( a^n-1-а^n-2 b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді a²ⁿ⁺¹ + 1= (a+1)( a^n-1- а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

Сума трьох квадратів і трьох кубів.

а³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ =3 (a – b)(b – c)(c – a).

a⁴ + 4 =  (a² – 2a + 2)(a² + 2a + 2);

a⁴ + a² + 1 = (a² + a + 1)(a² – a + 1);

а⁵ + a +1 = (a² + a + 1)(a³ – a² + 1);

a¹⁰ + a⁵ + 1 = = (a² + a + 1)(a⁸ – a⁷ + a⁵ – a⁴ + a³ – a + 1);

a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b +  c)(a²+ b² + c² – ab – ac – bc).

a⁴ + 4b⁴ = (a² – 2ab + 2b²)(a² + 2ab + 2b²);

4a⁴ + b⁴ =  (2a² – 2ab + b²)(2a² + 2ab + b²);

(х – m)(х – m - 2) + 1 = (х – m - 1)²;

1+ (n-1)n(n+1)(n+2)=(n²+n-1)²;

 (х-а)(х-(а+1))(х-(а+2))(х-(а+3))+1 = ((х²-(а +4)х+ (а+4))²;

 16+(n-2)n(n+2)(n+4)=(n² + 2n- 4)² ;  

81+(n-3)n(n+3)(n+6)=(n² + 3n- 9)²; 

256+(n-4)n(n+4)(n+8)=(n² + 4n- 16)²;

k⁴+(n-k)n(n+k)(n+2k)=(n² + kn- k²)²;

k⁴+(n+k)(n+2k)(n+3k)(n+4k)=(n² + 5kn+5k²)²; 

 якщо m+k=p+q, тоді

 |mkpq-(0,5km+0,5pq)²|+(x+k)(x+m)(x+p)(x+q))=

=(x² - (k+m)x+0,5km+0,5pq)²; 

 Три способи запису квадратного тричлена

ax² + bx + c = а(х – х₁)(х – х₂)= а(х - 0,5b:a)² – 0,25D:a.

Запис квадратного тричлена у вигляді декількох квадратів:

ax² + bx + c=m(x-k)²+p(x-q)²

ax² + bx + c=m(x-k)²+p(x-q)² +u(x-v)² 

Дискримінант  D = b² – 4ac. 

Два корені:   х₁ = (‒ b ‒ (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a),  х₂ = (‒ b + (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a).  

Розв’язування квадратного рівняння без обчислень дискримінанта:

Якщо a + b + с = 0, то корені  кв. рівняння:  х₁ = 1,  х₂ = с/а.  

Якщо а - b + с = 0, то корені кв. рівняння:   х₁ = - 1,  х₂ =  - с/а.  

Координати вершини  квадратичної  параболи  y= ax² + bx + c

це точка (х_верш; у_верш), де х_верш= - 0,5b:a =0,5(х₂ + х₁);    

 у_верш =  aх_верш ²+ bх_верш+c= -D/4a.

x² + 2ax + b =  n₁(x + m₁)² + n₂(x + m₂)² + n₃(x + m₃)²

xy + x + y  + а = (х + 1)(y + 1) + а - 1_.                xy + x + y  + 1= (х + 1)(y + 1)

aху + bх + cу + d = (x + c:a)(ау + b) + d – (cb:a).

Якщо b² ‒ 4ac – невід’ємний,  то ax² + byх + cy² = а(х ‒ k₁y) (х ‒ k₂y),

де k₁, k₂ ‒ корені квадратного рівняння  ak² + bk + c = 0.

А) многочлен (х - а₁) (х - а₂)(х - а₂) … (х -  а_n) - 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня, якщо а_і  – різні числа

Б) многочлен (х - а₁)(х - а₂)(х - а₂) … (х -  а_n) + 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня, окрім наступних випадків:

1+ (n-1)n(n+1)(n+2)=(n²+n-1)²;

 (х-а)(х-(а+1))(х-(а+2))(х-(а+3))+1 = ((х²-(а +4)х+ (а+4))²;

    Випадки розкладу на множники

16+(n-2)n(n+2)(n+4)=(n² + 2n- 4)² ;  

81+(n-3)n(n+3)(n+6)=(n² + 3n- 9)²; 

256+(n-4)n(n+4)(n+8)=(n² + 4n- 16)²;

k⁴+(n-k)n(n+k)(n+2k)=(n² + kn- k²)²; 

В) многочлен (х - а₁)²(х - а₂)²(х - а₂)² … (х -  а_n)² + 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Г) якщо р – просте число, то многочлен х^р – х – 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Д) якщо р – просте число, а – натуральне число, що не ділиться на р, то многочлен х^р – х – а – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Є) будь-який многочлен з цілими коефіцієнтами можна записати як суму двох незвідних многочленів.

Тотожності.

1=0,25(m²+1)²-0,25(m²-1)²  

 m=(m+0,25)²-(m-0,25)²

1 = ?придумайте власну формулу?       

  m =  ?придумайте власну формулу?        

m²=0,25(m²-1)²+0,25(m²+1)²   

m²=0,25(m²+1)²-0,25(m²-1)²

m² =?придумайте власну формулу?   

mⁿ = ?придумайте власну формулу?    

mⁿ=0,25(mⁿ+1)²-0,25(mⁿ-1)²     

Формули для знаходження сум степенів натуральних чисел.

1. Довести, що при довільному натуральному  к  виконується :

a.              2+4+6+..+ 2k = k(k+1)   (сума перших парних натуральних чисел);

b.              1+3+5+..+ 2k -1 = k²   (сума перших непарних натуральних чисел);

c.              1+2+3+4+..+ k= 0,5k(k+1)  (сума перших парних натуральних чисел);

d.             1²+2²+3²+4²+..+ k² = k(k+1)(2k+1):6    (сума квадратів перших натуральних чисел);

e.              1∙2 + 3∙2 + 3∙4 + 4∙5 + 5∙6 + … + k(k+1) = k(k+1)(2+k):3 ;

f.               1³+2³+3³+4³+..+ к³ = k²(k+1)²:4     (сума кубів перших натуральних чисел).

Завдання для опрацювання.

1. Чи вірно, що  рівняння

А) (n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 455 = 0;

Б) (k - 2)(k + 1)k(k - 1) - 24  = 0;

В) (m - 7)(m + 1)(m + 7)(m - 1) + 432 = 0;

Г) (a - 3)(a + 1)(a + 3)(a - 1) - 105 = 0

мають єдиний розв’язок в натуральних числах?

2. Які цілі вирази  

А) (n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 576;

Б) (m- 2)(m + 1)m(m - 1) + 1;

В) (k - 3)(k + 1)(k + 3)(k - 1) + 16;

Г) (p - 4)(p + 2)(p + 4)(p - 2) + 36;

Д) (t - 5)(t + 3)(t + 5)(t - 3) + 64;

Е) (x - 1)(x + 3)(x + 2)(x - 2)(x + 1)(x - 3) + 36;

Є) (y - 5)(y + 1)(y + 5)(y - 1) + 144

являються точними квадратами цілих виразів з цілими коефіцієнтами?

3. Невід’ємні цілі числа x, y, z задовольняють рівність

30х + 32у + 33z = 447. Знайдіть  значення виразу х + у + z.

Каталог задач з алгебри.

0. При яких значеннях a та b можна стверджувати, що виконується ланцюжок нерівність:  

min{ a; b} < 2ab(a + b)^-1 < (ab)^0,5< 0,5(a + b) < 0,5(a²+ b²) ^0,5 < max{ a; b}

1. При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  max{ b; - b} < min{ a; - a}? Відповідь обґрунтувати.

2.При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:

·       max{ b; - b} - min{ a; - a} < /a/ + /b/;

·       max{ a; b} - min{ 1:a;  1:b } > 2;

·       max{ a^b; b^a} - min{ 1:a^b;  1:b^a } > 2;

·       max{ ab; a:b} + min{ ab;  a:b } > 2;

·       max{ a; b} + max{ 1:a;  1:b } > 2;

·       min{ a^b; b^a} + min{ 1:a^b;  1:b^a } > 2;

·       max{ ab; a:b} + min{ ab;  a:b } > 2;

·      max{ b; - b} + min{ a; - a} < /a/ + /b/;

·       max{ b; - b} + min{ a; - a} < -a – b;

·      max{ a; - a} + min{ b; - b} < /a/ - /b/;

·       max{ b;a- b} + min{ a; b - a} < -a + b;

·       max{ b; - b} + max { a; - a} < -a – b;

·      max{ b; - b} + max { a; - a} < /a/ + /b/;

·       max { b; - b} + max { a; - a} < b – a;

·       min { b; - b} + min{ a; - a} < -a – b;

·      min { b; - b} + min{ a; - a} < -/a/  - /b/;

·       min { a- b; a:b } < 0,5[a- b+ a:b -/a-b - a:b/];

·       max{ a- b; a:b } < 0,5[a- b+ a:b +/a-b - a:b/];

·       min { ab; a- b; a:b; a+b } < -a + b;

·       max { ab; a- b; a:b; a+b } < -a + b;

·       min { ab; a- b; a/b; a+b; b/a;  a- b; a^b; b^a } < a^b+ b^a;

·       max { ab; a- b; a/b; a+b; b/a;  a- b; a^b; b^a } < a^b+ b^a;

3.При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  

max{ b; - b}*min{ a; - a} < ab;

max{ b; - b}*mах{ a; - a} < ab;

min{ b; - b}*min{ a; - a} < ab?

4.При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  

max{ b; - b; a; - a } - min{ a; - a; b; - b} < b – a;

max{ a+b;  b - a; a - b } – min{ a+b;  b - a; a - b} < b – a;

max{ b; - b; a; - a } - min{ a; - a; b; - b} < b - a?

6. При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  max{ b; - b}:min{ a; - a} < b:a?

7. При яких значеннях b та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  (ab)^0,5 +1 < (a + 1)^0,5(b + 1)^0,5 Відповідь обґрунтувати.

8. Доведіть, що якщо сума двох взаємно обернених чисел не менше двох, тобто для добутку чисел a∙b=1, тоді

^а/_b+ ^b/_a > = 2

9. Доведіть, що якщо для невід’ємних b: ¹/_b+ ^b > = 2

10.Доведіть, що якщо для невід’ємних чисел a∙b=1, тоді

                                         (a+b)2.

11. Доведіть, що якщо для невід’ємних  m чисел a∙b∙c∙d∙e∙…∙f=1, тоді

(a + b + c + d + e +…+f)>= m.

12. Доведіть, що для довільного а вірно:

а²>= 0.

13.Доведіть, що для  додатного числа  а>0  та від’ємного дискримінанта: b²-4aс<0 завжди виконується квадратна нерівність:

ax²+bx+c>0.

14. Доведіть, що для від’ємного числа  а<0  та від’ємного дискримінанта: b²-4aс<0 завжди виконується квадратна нерівність:

                                              ax²+bx+c<0.

15.При яких значеннях х та а можна стверджувати, що виконується нерівність:  5x(2а  - 5x)  - а² ≥ 1? Відповідь обґрунтувати.

16.При яких значеннях х та y можна стверджувати, що виконується нерівність:  х² – 2(х – y) + у² ≤ 2? Відповідь обґрунтувати.

17.При яких значеннях х та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  /х - a/ + /х + a/ ≤ 2? Відповідь обґрунтувати.

18. При яких значеннях х та а не можна стверджувати, що виконується нерівність: x² + 2ax + a² > 0? Відповідь обґрунтувати.

19. При яких значеннях х та а можна стверджувати, що виконується нерівність: x⁴ + 2x² + a⁴ +2a² > -2? Відповідь обґрунтувати.

20. При яких значеннях х та а можна стверджувати, що виконується нерівність: x⁴ + 2x² + a⁴ +2a² > -2? Відповідь обґрунтувати.

21. При яких значеннях х та а не можна стверджувати, що виконується нерівність: x + ¹/_x + ¹/_a + a < -4? Відповідь обґрунтувати.

22. При яких значеннях х не можна стверджувати, що виконується нерівність: x² + ¹/_x2 >7? Відповідь обґрунтувати.

23. При яких значеннях х можна стверджувати, що виконується нерівність: 4x²(х³-1) - 3(1 – 2х²) > 4 (х⁵-1)? Відповідь обґрунтувати.

24. При яких значеннях a можна стверджувати, що виконується нерівність: a-a/-a² -1/ < 1 – a²(a - 1)? Відповідь обґрунтувати.

25. Побудувати множину точок в прямокутній системі координат: у² < ух².

26. Побудувати множину точок в прямокутній системі координат: x³ < y⁵.

27. Побудувати множину точок в прямокутній системі координат: у² < /2yx/ - х².

28. Побудувати множину точок в прямокутній системі координат: /x³/ < y⁵.

29. Довести, що а³ + а²с – abc + b²c + b³ = 0, якщо a + b + c = 0.

30. Довести, що ах + 2х + ау +2у +4 = а², якщо a - 2 = х + у.

31.  Доведіть нерівності способом зведення до класичної нерівності Коші:

а) (a + b)(b + c)(c + a) >= 8abc;   

б) (k + 4m)(m + 4n)(n + 4k) >= kmn;      

в) (2x + 2y)(2y + 2z)(2z + 2x) >=xyz;

32. Розв’язати  графічно нерівність :  /2x-3y/+ /3x-2y/≤5. Знайти площу отриманої геометричної фігури.

 Перевірочна робота

Рівень А

1. При яких цілих значеннях х значення виразу (5х + 10 – 2х² )(2х-1)^-1 є натуральним числом?

2. Доведіть, що при всіх натуральних m число (m-1)m(m+1)(m+2)+1 - cкладене число.

3. Розкласти на множники (m-1)m(m+1)(m+2) – 24.

4. Розв’язати рівняння: (m-2)(m-1)m(m+1) – 3 = 0.

5. Розв’язати рівняння в цілих числах:  mn = n + m.

6. Розв’язати рівняння в цілих числах:  mn + n + m +1 = 0.

7. Розв’язати рівняння:  2m² + n² = 2nm+4m.

8. Розв’язати рівняння в цілих числах: 

a)/n/+ /m/ - 2 = 0; 

b)/n-2/+ /m-2/ - 2 = 0;

c)/n-2/+ /n+2/ - 2 = 0.

9. Розв’язати рівняння в цілих числах:  xy + x - 5y +6 = 0.

10. Розв’язати рівняння:  (m-1)^0,5+ 2(n-1)^0,5 = 0,5(n+m).

11. Доведіть, що amn + bn + cm +d = (m + c:a)(an +b)+d – cb:a.

12. Доведіть, що am² + bnm + cm² = a(m - k₁n)(m - k₂n), де  k₁ , k₂ корені квадратного рівняння ak² + bk+ c=0.

13. Доведіть, що 19m³ - 17m² = 51 не має розв’язків в натуральних числах.

14. Розв’язати параметричне рівняння з невідомим х:

(x² + ax + a²)(x – ax + a²)^-1= a²x^-2.

15. Розв’язати рівняння:  2^у = 1+ х + x² + х³.

16. Розв’язати рівняння:  x² + x ^-2 + 0,5x – 0,5x ^-1 = 5.

17. Розв’язати рівняння:  [х +3 - 4(х-1) ^0,5]^0,5+ [х + 8 - 6(х-1) ^0,5]^0,5= 1.

18. Доведіть, що mn + n + m + d = (m + 1)(n +1)+ d – 1.

19. Розв’язати нерівність в натуральних числах:

 ¹/₁₁ < ^m/_n < ¹/₁₀.

20. Доведіть, що  2²⁰¹³ -1 складене число.

21. Відомо, що a + b + c < 0 і що ax² + bx + c = 0 не має дійсних коренів. Визначити знак числа с.

22. Доведіть, що п’ятий степінь кожного натурального числа закінчується такою самою цифрою, як і перший степінь.

23. Знайти невідомі цифри *, якщо  (**)(**)=1*1.

24. Знайти невідомі цифри *, якщо  (**)(92)=***.

25. Знайти невідомі цифри *, якщо  (**)+(**)=*97.

26. Знайти невідомі цифри *, якщо  (**)(45)=*3*.

27. Знайти невідомі цифри , якщо:  КУТ = БА^к.

28. Знайти невідомі цифри , якщо:  ЦИФРА = ДВ^а.

29. Знайти невідомі цифри , якщо:  ВОДА+ВОДА+ВОДА = ОКЕАН.

30. Розв’язати рівняння в цілих числах:  6х²-3xy -7x +2y +15 = 0.

31. Розв’язати рівняння:  [х² +3 - 4х]^0,5+ 2[9 - 3х]^0,5=3[ 2х-2]^0,5+ [24]^0,5.

32. Розв’язати рівняння:  2x⁴+ 5x³- 4x² – 10x -3= 0.

33. При яких значеннях параметра а рівняння

x⁴-(2а-1)x² – а² -1= 0 має два різних корені?

34. Розв’язати в цілих числах рівняння: X^{! +}У^! = 144,05, де степеневий факторіал означає таку суму взаємно обренених чисел N^! =  N!+ ¹/_N!.

35. При яких значеннях х та a можна стверджувати, що виконується нерівність:  max{х; - x} = min{a; - a}? Відповідь обґрунтувати.

36. Розв'язати рівняння (1 + 4х²) (1 + 9у²) = 24ху.

ЗАДАЧІ НА ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЙ та ГРАФІКІВ РІВНЯНЬ

1.       Нехай  функція: f(х): D(f)  ® Е(f) задана аналітично, тобто формулою. За поданими нижче аналітичними формулами функцій:

1.       лінійних функцій у = ах+b;

2.       прямо пропорційних функцій  у = ах

3.       лінійних функції з модулем у = k|а|х|+b| + l; 

4.       квадратичних  функцій  у = ах²+bx+c;

5.       квадратичних функції з модулем у = k|ах²+b|х|+c| + l; 

6.       степеневих у = ахⁿ; 

7.       функцій  ант’є у = а[х]+b; 

8.       функцій мантиси  у = а{х}+b; 

9.       цілих раціональних функцій   у = а_охⁿ+…+а_n ;

10.    обернено-пропорційних функції у =

11.    лінійно-дробових функцій  у = ;  

12.    дробово-раціональних функцій  у = ;

13.    ірраціональних функцій у = g(x)± ;

14.    кусково-неперервних функцій, що задані на декількох числових проміжках;

15.    кусково-розривних функцій, що задані на декількох числових проміжках;

16.    показникових функцій у =b^а(x);

17.    логарифмічних функцій у = log_b g(х);

18.    тригонометричних функцій у= sin x,  y = cos x, y =tg x, y = ctg x; 

19.    обернених тригонометричних функцій  у= arcsin x, y = arccos x, y = arctg x,    y = arcctg x;

20.    трансцендентних та гіперболічних функцій у= f ^а/b(x), 

21.    складених функцій, що утворені суперпозицією декількох елементарних функцій y = f(g(r(x)));

22.    параметричних функцій y(t)= f(t); x(t)= g(t)) ;

23.    неявнозаданих функціональних відношень  f(y)+g(x) = 0;

24.    функцій, що задані у полярних координатах r=f(j).

                Визначити такі властивості:

1) область визначення функції D(f)  і показати її на числовій прямій Ох (це усі значення аргумента функції, тобто х, при яких існує значення f(х));

2) область значень функції Е(f)  і показати її на числовій прямій  Оу(це усі значення  функції, тобто у, що існує, як числове значення f(х));

3) нулі функції (це точки перетину з координатною віссю Ох,тобто, треба знайти усі розв’язки рівняння f(х)=0 або показати, що їх не існує);

4) точку перетину з координатними віссю Оу ( це точки перетину з координатною віссю Оу,тобто, треба точку виду (0;  f(0));або показати, що її не існує);

5) проміжки знакосталості функції(проміжки, де функція додатна і де від’ємна, тобто знайти усі розв’язки нерівності f(х)£ 0 , f(х)³ 0);      

6) парність та непарність функції(перевірка на симетричність області визначення і перевірка на виконання умов:  парності: f(-х)= f(х) та симетричність графіка відносно осі Оу, непраності:   f(-х)= -f(х) симетричність графіка відносно точки (0;0) );

7) періодичність функції ( знайти таке найменше  число Т, що задовольняє умову: f(х + Т)= f( х - Т) = f(х));

8) обмеженість зверху та знизу або  необмеженість зверху та знизу функції ( для обмеженості здійснюється пошук таких чисел m та М, що виконуються одна із нерівностей: m £ f(х)£ М, m < f(х)£ М, m £ f(х)<М  m <f(х)<М, для доведення необмеженості показати, що таких чисел m та М не існує);

9) проміжки неперервності функції( наявність  суцільних ліній, що складають графік);

10) характер точок розриву графіка функції(наявність зсувів, миттєвих стрибків, щілей між лініями графіка, що прямують на безмежність) ;

11) вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти до графіка функції;(це прямі, до яких як завгодно близько наближається крива графіка при прямуванні її на безмежність);

12) критичні точки функції(значення аргументу, в яких похідна f¢(х) дорівнює нулю, або не існує);

13) проміжки монотонності функції(проміжки зростання(точки, де f¢(х)>0)  і проміжки спадання(точки, де  f¢(х)<0 ) );

14) екстремуми функції(усі точки максимуму і точки мінімуму(х_mах  та х_min), усі локальні та глобальні максимуми та мінімуми функції(у_mах та у_min));

15)можливість побудови графіка за допомогою руху та деформації відомих графіків-шаблонів елементарних функцій;

16) точки перегину та випуклість вгору і випуклусть вниз (кривизна) графіка функції.

КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН та його властивості

   ax² + bx + c = а(х - х₁)(х - х₂) = а(х - m)²+ n

А!. Записати три різних квадратних тричленів у стандартному, якщо його  корені дорівнюють:

1) 20 і -1,3;  2) – 80 і 1,6;   3) 70 і -1,6;  4) -50  і -1,2;   5) – 90 і -1,5;  6) -12 і -4,0;  7) – 20 і 1,6;  8) 40 і -2,5;   9) – 70 і 1,9;

10) 1,3 і -70;   11) -30 і -1,9;   12) – 1,4 і -80;  13) 90 і -1,2; 14) – 1,3 і - 60;   15) 50 і -2,3;  16) – 1,7 і 60;  17) 90 і -2,6;

18) -1,4 і -20;   19) – 40 і -1,7;  20) -1,3 і -40;  21) – 50 і 2,6;  22) 30 і -2,5;  23) – 10 і 3,3;  24) 30 і -2,4;  25) -2,2 і -90; 

 26) – 40 і -1,2;  27) -15 і -20; 28) – 30 і – 1,6;  29) 20 і -3,6;  30) – 1,2 і 60;  31) 40 і -4,6;  32) -4,4 і -70;   33) – 90 і -60;  34) -10 і -4,3;  35) – 20 і 6,1;   36) 40 і -5;  37) – 10 і 3;  38) -90 і 5,5;  39) -5 і -90;   40) 14 і -2;   41) -12 і -3. 42) -5 і -20.

Б!. Розкласти на множники квадратний тричлен: а(х-х₁)(х-х₂) та виділити квадрат двочлена: а(х-m)²+n

1) -х² -5х-4;  2)- х² -х-2;  3)- х² -6х-5;  4) -х² -7х-6;  5) -х² -6х-7;  6) -х² -9х-8;  7) -х² -10х-9;  8) -х² -11х-10;  9) -х² -12х-11;    10) -х² -13х-12;  11) -х² -15х-14; 12) -х² -16х-15;   13) - х² -17х-16;  14) -х² -18х-17;  15) -х² -19х-18;  16) -х² -20х-19;

17) -х² -21х-20;  18) -х² -22х-21;  19) -х² -23х-22;  20) -х² -24х-23;  21) -х² -25х-24;  22) -х² -26х-25;  23) -х² -27х-26;

24) -х² -28х-27;  25) -х² -29х-28;  26)- х² -30х-29;   27) -х² -31х-30;  28)- х² -32х-31;  29) -х² -33х-32;  30) -х² -34х-33; 

31) -х² -35х -34;  32) -х² -36х-35;  33) -х² -37х-36;  34) -х² -38х-37;  35)- х² -39х-38;  36) -х² -41х-40;   37) -х² -42х-41;  38)- х² - 8х -12;  39)- х² -7х+12;  40) -х² -10х+21;  41)- х² +6х-8.  42) -х² -15х-56;  43) х² +14х+48. 44) х² -17х + 72.

В!. Розв’язати рівняння:  а) - г) і виконати перевірку.  У рівнянні з параметром, що в пункті д) знайти, при якому значенні параметра  k  рівняння має: а) один корінь; б) один додатний корінь; в) один від’ємний корінь; г) два корені; д) два протилежні корені; е) немає коренів;  є) два корені: нульовий  і додатний; ж) два корені: нульовий  і від’ємний; з) два не додатних  корені; и) два  корені різних знаків;  ї)два взаємно обернені корені.

1.    а) z² = (– 1³) ⁶; б) х³ = 124x; в) (х-1)(х+9) = 8х;  г) (6х – 9)² + (9х + 6)² = 84; д)  -9kх² – (4-3k)х -0,25k = 0.  

2.    а) b² =( – 3¹) ² ; б) х³ = 160x; в)  (х-4)(х+8) = 4х;  г) (7х – 4)² + (4х + 7)² = 34; д) -4kх² – (5-2k)х -0,25k = 0.  

3.     а) z² = (– 1⁴) ³; б) х³ = 192x; в) (х-4)(х+7) = 3х;  г) (8х – 2)² + (2х + 8)² = 42; д) -9kх² – (6-3k)х -0,25k = 0.    

4.    а) b² = - ( – 3) ³; б) х³ = 172x; в) (х-4)(х+6) = 2х;  г) (9х – 5)² + (5х + 9)² = 52; д) - kх² – (7-k)х -0,25k = 0.    

5.    а) z² = (– 2) ⁵; б) х³ = 136x; в)  (х-4)(х+5) = х;  г) (2х – 1)² + (2х +1)² = 62; д) -4kх² – (8-2k)х -0,25k = 0.  

6.    а) х² = 36;  б) х³ = 128x; в)  (х-9)(х+3) =-6 х;  г) (4х –3)² + (3х + 4)² = 72; д) -9kх² – (9-3k)х -0,25k = 0.  

7.    а) m² –7m = 0;  б) х³ = 188x; в) (х-8)(х+3) = -5х;  г) (5х – 3)² + (3х + 5)² = 82; д) kх² – (4-k)х +0,25k = 0.   

8.    а) n² +3n= 0;  б) х³ = 148x; в) (х-7)(х+3) = -4х;  г) (7х – 4)² + (4х + 7)² = 92; д) kх² – (1-k)х +0,25k = 0.   

9.    а) k² –25k = 0; б) х³ = 90x; в) (х-6)(х+3) = -3х; г) (8х –6)²+ (6х +8)² = 22; д)  kх² – (k-1)х +0,25k = 0.   

10.а) 36z – z² = 0;  б) х³ = 63x; в) (х-5)(х+3) = -2х;  г)  (9х – 7)² + (9х+7)² = 72; д) 4kх² – (2k-2)х+0,25k=0.

11.     а)  – b² – 5b = 0; б) х³ = 45x; в) (х-3)(х+5) = 2х;  г) (3х – 7)² + (3х + 7)² = 52; д) kх² – (k-3)х+0,25k=0.           

12.     а)  b² =( – 4) ² ; б) х³ = 12x; в) (х-64)(х+65) = х;  г) (7х –9)² + (9х+7)² = 72; д) 9kх² – (3k-4)х+0,25k=0.              

13.     а)  z² = (2⁴) ³; б) х³ = 28x; в) (х-54)(х+55) = х;  г) (8х – 7)² + (7х + 8)² = 82; д) kх² – (k-5)х+0,25k=0.           

14.     а)  b² = - ( – 4) ³; б) х³ = 8x; в) (х-44)(х+45) = х;  г) (4х – 5)² + (5х + 4)² = 92; д) kх² – (k-6)х+0,25k=0.            

15.     а)  z² = (– 3)⁶; б) х³ = 78x; в) (х-34)(х+35) = х;  г) (5х – 8)² + (8х + 5)² = 62; д) kх² – (k-7)х+0,25k=0.            

16.     а)  х² = 64x;  б) х³ = 76x; в) (х-24)(х+25) = х;  г) (7х – 1)² + (7х + 1)² = 12; д) kх² – (k-8)х+0,25k=0.            

17.     а)  у² = 0,81y;  б)х³ = 75x; в) (х-15)(х+16) = х;  г) (8х – 1)² + (8х + 1)² = 42; д) -9kх² –(3k-1)х -0,25k = 0.           

18.     а)  z² = (- 4)³; б) х³ = 0,01x; в) (х-14)(х+15) = х;  г) (9х – 1)² + (9х + 1)² = 62; д) kх² –kх +0,25k+1 = 0.              

19.     а)  m² = 5⁴; б) х³ = 0,16x; в) (х-13)(х+14) = х;  г) (6х – 3)² + (3х + 6)² = 92; д)  kх² –kх +0,25k+2 = 0.              

20.     а) m² = 2³;   б) х³ = 49x; в) (х-12)(х+13) = х;  г) (8х – 9)² + (9х + 8)² = 72; д) kх² –kх +0,25k+3= 0.              

21.     а)  n² = ¹/₃₆; б) х³ = 256x; в) (х-11)(х+12) = х;  г) (4х – 5)² + (4х + 5)² = 52; д) kх² –kх +0,25k+4 = 0.              

22.     а)  d² =(- ¹/₄)²; б) х³ = 196x; в) (х-10)(х+11) = х;  г) (2х – 5)² +(2х +5)² = 32; д) kх² –kх +0,25k+26 = 0.              

23.     а) х² = 2,89;  б) х³ = 169x; в) (х-1)(х+2) = х;  г) (2х – 5)² + (2х + 5)² = 12; д) kх² –kх +0,25k+27 = 0.              

24.     а)  n² = 6,25n; б) х³ = 88x; в) (х-7)(х+8) = х;  г) (2х – 5)² + (2х + 5)² = 82; д) kх² –kх +0,25k+28 = 0.              

25.     а)  m² =¹/₃₆; б) х³ = -68x; в) (х-6)(х+7) = х;  г) (х – 5)² + (х + 5)² = 62; д) kх² –kх +0,25k+29= 0.               

26.     а)  a² = 1⁷/₉; б) х³ = 80x; в) (х-5)(х+6) = х;  г) (5х – 4)² + (4х + 5)² = 42; д) kх² –kх +0,25k+30 = 0.               

27.     а)  b² = 3¹/₁₆; б) х³ = 84x; в) (х-4)(х+5) = х;  г) (4х – 3)² + (3х + 4)² = 22; д)  kх² –kх +0,25k+32= 0.                

28.     а)  z² = (– 2) ⁶; б) х³ = 36x; в) (х-8)(х+9) = х;  г) (3х – 5)² + (3х + 5)² = 12; д) kх² –kх +0,25k+33= 0.                 

29.а) х² = 441n; б) х³ = 98x; в) (х-4)(х+10) = 6х; г) (х – 2)² + (х + 2)² = 4; д) -4kх² – (1-2k)х -0,25k +1= 0.  

30.а) n² = 324;  б) х³ = 78x; в) (х-7)(х+4) = -3х;  г) (х – 4)² + (х + 4)² = 32; д)  -kх² – (1-k)х -0,25k+2 = 0.  

31.а) m² = 108;  б) х³ = 58x; в) (х-9)(х+4) = -5х;  г) (х – 1)² + (х + 3)² = 10; д) -kх² – (2-k)х -0,25k+3 = 0.  

32.а) х² = 225;  б) х³ = 87x; в) (х-9)(х+1) = -8х;  г) (х – 3)² + (х + 5)² = 34; д) -9kх² – (1-3k)х -0,25k +4= 0.

33. а) х² = 9х; б) х³ = 16x; в) (х-4)(х+3) = х;  г) (2х – 5)² + (5х + 2)² = 60; д) -9kх² – (1-3k)х -0,25k = 0.  

34.а) n² = 4n;  б) х³ = 0,25x; в) (х-7)(х+1) = -6х;  г) (4х – 2)² + (2х + 4)² = 54; д)  -kх² – (1-k)х -0,25k = 0.  

35.а) m² = 16m;  б) х³ = 40x; в)  (х-8)(х+4) = -4х;  г) (3х – 4)² + (4х + 3)² = 64; д) -kх² – (2-k)х -0,25k = 0.  

36.а) х² = 25x;  б) х³ = 44x; в)  (х-9)(х+6) = -3х;  г) (4х – 5)² + (5х + 4)² = 68; д) -4kх² – (1-2k)х -0,25k = 0.  

37.а) k² = 64k;  б) х³ = 99x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (15х – 6)² + (6х + 15)² = 90; д) -4kх² – (3-2k)х -0,25k = 0.  

38. а) k² = 36k;  б) х³ = 98x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (5х – 6)² + (6х + 5)² = 60; д) -4kх² – (3-2k)х -0,25k = 0.  

39.а) k² = -16k;  б) х³ = 96x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (5х – 16)² + (16х + 5)² = 80; д) -4kх² – (3-2k)х -0,25k = 0.  

40.  а) k² = 256;  б) х³ = 20x; в)  (х-2)(х+5) = 3х;  г) (х – 6)² + (х + 6)² = 72; д) -4kх² – (7-2k)х -0,25k+6 = 0.